Номер 145, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 145, страница 53.

Условие.

145. Число 4 является корнем уравнения $x^2 + ax - 24 = 0$.

Найдите значение $a$ и второй корень уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано квадратное уравнение $x^2 + ax - 24 = 0$. По условию, число 4 является одним из его корней.

Найдите значение $a$

Поскольку 4 является корнем уравнения, это означает, что при подстановке значения $x = 4$ в уравнение мы получим верное равенство. Выполним подстановку:
$4^2 + a \cdot 4 - 24 = 0$
Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$16 + 4a - 24 = 0$
$4a - 8 = 0$
$4a = 8$
$a = \frac{8}{4}$
$a = 2$
Ответ: $a = 2$.

Найдите второй корень уравнения

Теперь, когда мы знаем, что $a=2$, мы можем записать исходное уравнение полностью:
$x^2 + 2x - 24 = 0$
Для нахождения второго корня удобно использовать теорему Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену $q$.
В нашем уравнении $q = -24$. Один корень нам известен: $x_1 = 4$. Найдём второй корень $x_2$:
$x_1 \cdot x_2 = q$
$4 \cdot x_2 = -24$
$x_2 = \frac{-24}{4}$
$x_2 = -6$
Для проверки можно использовать вторую часть теоремы Виета: сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна коэффициенту $p$ с противоположным знаком, то есть $-p$. В нашем уравнении $p = 2$, значит $x_1 + x_2 = -2$.
$4 + (-6) = -2$. Равенство верно.
Ответ: второй корень уравнения равен -6.