Номер 137, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 - 2x - 3} + \sqrt{x^2 + 6x + 5} = 0;$

2) $x^2 - 10x + 25 + |x^2 - 9x + 20| = 0;$

3) $\sqrt{x^2 - 36} + |x^2 + 6x - 16| = 0.$

1) $\sqrt{x^2 - 2x - 3} + \sqrt{x^2 + 6x + 5} = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 2x - 3} = 0 \\ \sqrt{x^2 + 6x + 5} = 0 \end{cases}$

Возведя обе части каждого уравнения в квадрат, получим:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 3 = 0 \\ x^2 + 6x + 5 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-3$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Решим второе уравнение: $x^2 + 6x + 5 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Корнями являются $x_3 = -1$ и $x_4 = -5$.

Решением системы является общее решение для обоих уравнений. Сравнивая множества корней $\{3, -1\}$ и $\{-1, -5\}$, мы видим, что общим корнем является $x = -1$.

Проверка: подставим $x=-1$ в исходное уравнение.
$\sqrt{(-1)^2 - 2(-1) - 3} + \sqrt{(-1)^2 + 6(-1) + 5} = \sqrt{1 + 2 - 3} + \sqrt{1 - 6 + 5} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$.
$0 = 0$. Равенство верно.

Ответ: $x = -1$.

2) $x^2 - 10x + 25 + |x^2 - 9x + 20| = 0$

Заметим, что первое слагаемое является полным квадратом: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.
Уравнение принимает вид: $(x - 5)^2 + |x^2 - 9x + 20| = 0$.

В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных слагаемых: $(x-5)^2 \ge 0$ и $|x^2 - 9x + 20| \ge 0$ (квадрат числа и модуль числа всегда неотрицательны). Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Таким образом, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (x - 5)^2 = 0 \\ |x^2 - 9x + 20| = 0 \end{cases}$

Из которой следует:

$\begin{cases} x - 5 = 0 \\ x^2 - 9x + 20 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим единственный корень: $x = 5$.

Проверим, является ли $x=5$ корнем второго уравнения. Подставим $x=5$ в уравнение $x^2 - 9x + 20 = 0$:

$5^2 - 9 \cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0$.

$0 = 0$. Равенство верно.

Так как $x=5$ является решением обоих уравнений системы, это и есть решение исходного уравнения.

Ответ: $x = 5$.

3) $\sqrt{x^2 - 36} + |x^2 + 6x - 16| = 0$

Уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $\sqrt{x^2 - 36} \ge 0$ и $|x^2 + 6x - 16| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю. Следовательно, уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 36} = 0 \\ |x^2 + 6x - 16| = 0 \end{cases}$

Эта система равносильна следующей:

$\begin{cases} x^2 - 36 = 0 \\ x^2 + 6x - 16 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x^2 - 36 = 0$.
$x^2 = 36$, откуда $x_1 = 6$, $x_2 = -6$.

Решим второе уравнение: $x^2 + 6x - 16 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: сумма корней равна $-6$, а произведение равно $-16$. Корнями являются $x_3 = 2$ и $x_4 = -8$.

Решением системы являются значения $x$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Сравним множества корней первого уравнения $\{6, -6\}$ и второго уравнения $\{2, -8\}$. У этих множеств нет общих элементов.

Так как система не имеет решений, то и исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.