Номер 133, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 133, страница 52.

Условие.

133. Найдите четыре последовательных нечётных натуральных числа, если удвоенное произведение второго и третьего чисел на 107 больше произведения первого и четвёртого чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим искомые четыре последовательных нечётных натуральных числа. Поскольку последовательные нечётные числа отличаются друг от друга на 2, мы можем представить их следующим образом, используя переменную $n$, где $n$ — натуральное число.
Пусть первое число: $2n - 1$
Второе число: $2n + 1$
Третье число: $2n + 3$
Четвёртое число: $2n + 5$
Для того чтобы первое число $2n - 1$ было натуральным, необходимо, чтобы $n \ge 1$.

Согласно условию задачи, удвоенное произведение второго и третьего чисел на 107 больше произведения первого и четвёртого чисел. Запишем это условие в виде уравнения:
$2 \cdot (2n + 1)(2n + 3) = (2n - 1)(2n + 5) + 107$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в обеих частях.
В левой части: $2(4n^2 + 6n + 2n + 3) = 2(4n^2 + 8n + 3) = 8n^2 + 16n + 6$
В правой части: $(4n^2 + 10n - 2n - 5) + 107 = 4n^2 + 8n - 5 + 107 = 4n^2 + 8n + 102$

Приравняем выражения:
$8n^2 + 16n + 6 = 4n^2 + 8n + 102$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные члены, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$8n^2 - 4n^2 + 16n - 8n + 6 - 102 = 0$
$4n^2 + 8n - 96 = 0$

Для упрощения разделим всё уравнение на 4:
$n^2 + 2n - 24 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-24$. Этим условиям удовлетворяют числа $4$ и $-6$.
$n_1 = 4$, $n_2 = -6$.

Так как мы ищем натуральные числа, и мы установили, что $n$ должно быть натуральным числом ($n \ge 1$), то корень $n = -6$ не является решением задачи. Следовательно, единственное подходящее значение — это $n = 4$.

Найдем искомые числа, подставив значение $n=4$ в их выражения:
Первое число: $2 \cdot 4 - 1 = 7$
Второе число: $2 \cdot 4 + 1 = 9$
Третье число: $2 \cdot 4 + 3 = 11$
Четвёртое число: $2 \cdot 4 + 5 = 13$

Проведем проверку. Удвоенное произведение второго и третьего чисел: $2 \cdot (9 \cdot 11) = 2 \cdot 99 = 198$. Произведение первого и четвертого чисел: $7 \cdot 13 = 91$. Разница: $198 - 91 = 107$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 7, 9, 11, 13.