Номер 126, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Решите уравнение:

1) $(3x+2)(x-4)=5;$

2) $(x+1)(x-2)-(4x-3)(x+5)=x(x-9);$

3) $(3x-5)^2+(4x-1)(4x+1)=29.$

1) $(3x + 2)(x - 4) = 5$

Для решения данного уравнения раскроем скобки в левой части и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
$3x \cdot x + 3x \cdot (-4) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-4) = 5$
$3x^2 - 12x + 2x - 8 = 5$
$3x^2 - 10x - 8 = 5$
Перенесем 5 в левую часть уравнения:
$3x^2 - 10x - 8 - 5 = 0$
$3x^2 - 10x - 13 = 0$
Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=3, b=-10, c=-13$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-13) = 100 + 156 = 256$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 16}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 16}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
Ответ: $-1; 4\frac{1}{3}$.

2) $(x + 1)(x - 2) - (4x - 3)(x + 5) = x(x - 9)$

Раскроем все скобки в уравнении:
$(x^2 - 2x + x - 2) - (4x^2 + 20x - 3x - 15) = x^2 - 9x$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(x^2 - x - 2) - (4x^2 + 17x - 15) = x^2 - 9x$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:
$x^2 - x - 2 - 4x^2 - 17x + 15 = x^2 - 9x$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$-3x^2 - 18x + 13 = x^2 - 9x$
Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде:
$0 = x^2 - 9x + 3x^2 + 18x - 13$
$0 = 4x^2 + 9x - 13$
Решим уравнение $4x^2 + 9x - 13 = 0$. Коэффициенты: $a=4, b=9, c=-13$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 81 + 208 = 289$
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 + 17}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 - 17}{8} = \frac{-26}{8} = -\frac{13}{4} = -3.25$
Ответ: $1; -\frac{13}{4}$.

3) $(3x - 5)^2 + (4x - 1)(4x + 1) = 29$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Раскроем скобки:
$((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2) + ((4x)^2 - 1^2) = 29$
$(9x^2 - 30x + 25) + (16x^2 - 1) = 29$
$9x^2 - 30x + 25 + 16x^2 - 1 = 29$
Приведем подобные слагаемые:
$25x^2 - 30x + 24 = 29$
Перенесем 29 в левую часть:
$25x^2 - 30x + 24 - 29 = 0$
$25x^2 - 30x - 5 = 0$
Для удобства разделим все члены уравнения на 5:
$5x^2 - 6x - 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=5, b=-6, c=-1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 36 + 20 = 56$
Так как $D > 0$ и не является полным квадратом, корни будут иррациональными. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 14}}{10} = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{10}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{14}}{5}$
Таким образом, получаем два корня:
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{14}}{5}$
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{14}}{5}$
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{14}}{5}; \frac{3 + \sqrt{14}}{5}$.