Номер 127, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 127, страница 51.

Условие.

127. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна $84 \text{ см}^2$, а одна из сторон на $5 \text{ см}$ меньше другой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем переменную. Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, одна из сторон на 5 см меньше другой, значит, большая сторона будет равна $(x+5)$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — его смежные стороны. Нам известно, что площадь равна 84 см². Составим уравнение на основе этих данных:

$x \cdot (x+5) = 84$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 5x - 84 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361$

Корень из дискриминанта равен $\sqrt{361} = 19$. Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 19}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 19}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

Так как длина стороны прямоугольника не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не является решением задачи. Следовательно, длина меньшей стороны прямоугольника составляет 7 см.

Найдем длину большей стороны:

$x + 5 = 7 + 5 = 12$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 7 см и 12 см.

Теперь вычислим периметр прямоугольника ($P$). Периметр — это сумма длин всех сторон, которая вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$:

$P = 2 \cdot (7 + 12) = 2 \cdot 19 = 38$ см.

Ответ: 38 см.