Номер 124, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Решите уравнение:

1) $x^2 - 9|x| = 0;$

2) $x^2 + 2|x| - 10x = 0.$

1) Решим уравнение $x^2 - 9|x| = 0$.

Поскольку $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$, мы можем переписать уравнение, заменив $x^2$ на $|x|^2$:

$|x|^2 - 9|x| = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $|x|$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, то $t \ge 0$.

Получаем уравнение с переменной $t$:

$t^2 - 9t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t - 9) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения для $t$:

$t_1 = 0$ или $t - 9 = 0 \Rightarrow t_2 = 9$.

Оба найденных значения $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

Если $t_1 = 0$, то $|x| = 0$. Это уравнение имеет один корень: $x = 0$.

Если $t_2 = 9$, то $|x| = 9$. Это уравнение имеет два корня: $x = 9$ и $x = -9$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: $-9$, $0$ и $9$.

Ответ: $-9; 0; 9$.

2) Решим уравнение $x^2 + 2|x| - 10x = 0$.

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль $|x|$. Это делается рассмотрением двух случаев в зависимости от знака переменной $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.

Если $x$ неотрицательно, то $|x| = x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 + 2x - 10x = 0$

Приводим подобные слагаемые:

$x^2 - 8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 8) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 0$.

$x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 \ge 0$).

$x_2 = 8$ удовлетворяет условию ($8 \ge 0$).

Следовательно, оба числа являются корнями исходного уравнения.

Случай 2: $x < 0$.

Если $x$ отрицательно, то $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 + 2(-x) - 10x = 0$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x^2 - 2x - 10x = 0$

$x^2 - 12x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 12) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 12$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < 0$.

$x_3 = 0$ не удовлетворяет условию ($0$ не меньше $0$).

$x_4 = 12$ не удовлетворяет условию ($12$ не меньше $0$).

Следовательно, в этом случае у уравнения нет корней.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы находим все решения исходного уравнения.

Ответ: $0; 8$.