Номер 117, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 117, страница 50.

Условие.

117. Упростите выражение:

1) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}};$

2) $\sqrt{100 - 18\sqrt{19}};$

3) $\sqrt{36 + 10\sqrt{11}} + \sqrt{47 - 12\sqrt{11}};$

4) $\sqrt{87 - 16\sqrt{23}} - \sqrt{39 - 8\sqrt{23}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$

Для упрощения этого выражения представим подкоренное выражение $7 + 4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Сравниваем $7 + 4\sqrt{3}$ с $a^2 + 2ab + b^2$. Член $4\sqrt{3}$ должен быть равен $2ab$, а 7 должно быть равно $a^2+b^2$.

Из $2ab = 4\sqrt{3}$ получаем $ab=2\sqrt{3}$. Пробуем подобрать значения. Пусть $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.

Проверим, выполняется ли второе условие: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. Условие выполняется.

Таким образом, $7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$.

Подставляем это в исходное выражение: $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}|$.

Так как $2+\sqrt{3} > 0$, модуль можно убрать: $|2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}$.

Ответ: $2+\sqrt{3}$.

2) $\sqrt{100 - 18\sqrt{19}}$

Представим подкоренное выражение $100 - 18\sqrt{19}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сравниваем $100 - 18\sqrt{19}$ с $a^2+b^2 - 2ab$. Имеем систему условий: $a^2+b^2 = 100$ и $2ab = 18\sqrt{19}$, откуда $ab = 9\sqrt{19}$.

Подберем значения: пусть $a=9$ и $b=\sqrt{19}$.

Проверим первое условие: $a^2+b^2 = 9^2 + (\sqrt{19})^2 = 81 + 19 = 100$. Условие выполняется.

Следовательно, $100 - 18\sqrt{19} = (9-\sqrt{19})^2$.

Тогда $\sqrt{100-18\sqrt{19}} = \sqrt{(9-\sqrt{19})^2} = |9-\sqrt{19}|$.

Чтобы раскрыть модуль, сравним 9 и $\sqrt{19}$. $9^2 = 81$, а $(\sqrt{19})^2 = 19$. Поскольку $81 > 19$, то $9 > \sqrt{19}$, и $9-\sqrt{19} > 0$.

Значит, $|9-\sqrt{19}| = 9-\sqrt{19}$.

Ответ: $9-\sqrt{19}$.

3) $\sqrt{36 + 10\sqrt{11}} + \sqrt{47 - 12\sqrt{11}}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя формулы полного квадрата.

Первое слагаемое: $\sqrt{36 + 10\sqrt{11}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=36$ и $2ab=10\sqrt{11}$ (или $ab=5\sqrt{11}$). Пусть $a=5, b=\sqrt{11}$. Проверяем: $a^2+b^2 = 5^2+(\sqrt{11})^2=25+11=36$. Верно. Значит, $36 + 10\sqrt{11} = (5+\sqrt{11})^2$. Тогда $\sqrt{36 + 10\sqrt{11}} = \sqrt{(5+\sqrt{11})^2} = |5+\sqrt{11}| = 5+\sqrt{11}$ (так как $5+\sqrt{11} > 0$).

Второе слагаемое: $\sqrt{47 - 12\sqrt{11}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=47$ и $2ab=12\sqrt{11}$ (или $ab=6\sqrt{11}$). Пусть $a=6, b=\sqrt{11}$. Проверяем: $a^2+b^2 = 6^2+(\sqrt{11})^2=36+11=47$. Верно. Значит, $47 - 12\sqrt{11} = (6-\sqrt{11})^2$. Тогда $\sqrt{47 - 12\sqrt{11}} = \sqrt{(6-\sqrt{11})^2} = |6-\sqrt{11}|$. Сравним 6 и $\sqrt{11}$: $6^2=36$, $(\sqrt{11})^2=11$. Так как $36>11$, то $6>\sqrt{11}$, и $6-\sqrt{11}>0$. Поэтому $|6-\sqrt{11}| = 6-\sqrt{11}$.

Теперь сложим полученные результаты: $(5+\sqrt{11}) + (6-\sqrt{11}) = 5+6+\sqrt{11}-\sqrt{11} = 11$.

Ответ: $11$.

4) $\sqrt{87 - 16\sqrt{23}} - \sqrt{39 - 8\sqrt{23}}$

Упростим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности.

Уменьшаемое: $\sqrt{87 - 16\sqrt{23}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=87$ и $2ab=16\sqrt{23}$ (или $ab=8\sqrt{23}$). Пусть $a=8, b=\sqrt{23}$. Проверяем: $a^2+b^2 = 8^2+(\sqrt{23})^2 = 64+23=87$. Верно. Значит, $87 - 16\sqrt{23} = (8-\sqrt{23})^2$. Тогда $\sqrt{87 - 16\sqrt{23}} = \sqrt{(8-\sqrt{23})^2} = |8-\sqrt{23}|$. Сравним 8 и $\sqrt{23}$: $8^2=64$, $(\sqrt{23})^2=23$. Так как $64>23$, то $8>\sqrt{23}$, и $8-\sqrt{23}>0$. Поэтому $|8-\sqrt{23}| = 8-\sqrt{23}$.

Вычитаемое: $\sqrt{39 - 8\sqrt{23}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=39$ и $2ab=8\sqrt{23}$ (или $ab=4\sqrt{23}$). Пусть $a=4, b=\sqrt{23}$. Проверяем: $a^2+b^2 = 4^2+(\sqrt{23})^2 = 16+23=39$. Верно. Значит, $39 - 8\sqrt{23} = (4-\sqrt{23})^2$. Тогда $\sqrt{39 - 8\sqrt{23}} = \sqrt{(4-\sqrt{23})^2} = |4-\sqrt{23}|$. Сравним 4 и $\sqrt{23}$: $4^2=16$, $(\sqrt{23})^2=23$. Так как $16<23$, то $4<\sqrt{23}$, и $4-\sqrt{23}<0$. Поэтому $|4-\sqrt{23}| = -(4-\sqrt{23}) = \sqrt{23}-4$.

Теперь выполним вычитание: $(8-\sqrt{23}) - (\sqrt{23}-4) = 8-\sqrt{23} - \sqrt{23} + 4 = 12 - 2\sqrt{23}$.

Ответ: $12 - 2\sqrt{23}$.