Номер 116, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 116, страница 50.

Условие.

116. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(5 - \sqrt{6})^2};$

2) $\sqrt{(\sqrt{5} - 6)^2};$

3) $\sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{6})^2};$

4) $\sqrt{(5 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{7})^2};$

5) $\sqrt{(\sqrt{5} - 4)^2} - \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(5 - \sqrt{6})^2} = |5 - \sqrt{6}|$

Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения под ним. Сравним числа 5 и $\sqrt{6}$. Для этого сравним их квадраты: $5^2 = 25$ и $(\sqrt{6})^2 = 6$.

Поскольку $25 > 6$, то $5 > \sqrt{6}$. Следовательно, разность $5 - \sqrt{6}$ положительна.

Для любого неотрицательного числа $|a| = a$, поэтому:

$|5 - \sqrt{6}| = 5 - \sqrt{6}$

Ответ: $5 - \sqrt{6}$

2) Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(\sqrt{5} - 6)^2} = |\sqrt{5} - 6|$

Определим знак выражения $\sqrt{5} - 6$. Сравним квадраты чисел $\sqrt{5}$ и 6: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $6^2 = 36$.

Так как $5 < 36$, то $\sqrt{5} < 6$. Следовательно, разность $\sqrt{5} - 6$ отрицательна.

Для любого отрицательного числа $|a| = -a$, поэтому:

$|\sqrt{5} - 6| = -(\sqrt{5} - 6) = 6 - \sqrt{5}$

Ответ: $6 - \sqrt{5}$

3) Воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{6})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{6}|$

Сравним числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt{6}$. Так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, и $5 < 6$, то $\sqrt{5} < \sqrt{6}$.

Следовательно, выражение $\sqrt{5} - \sqrt{6}$ имеет отрицательный знак.

Раскрываем модуль с противоположным знаком:

$|\sqrt{5} - \sqrt{6}| = -(\sqrt{5} - \sqrt{6}) = \sqrt{6} - \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{6} - \sqrt{5}$

4) Упростим каждое слагаемое в выражении по отдельности, используя формулу $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(5 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{7})^2} = |5 - \sqrt{7}| + |1 - \sqrt{7}|$

Для первого слагаемого $|5 - \sqrt{7}|$: сравним 5 и $\sqrt{7}$. Так как $5^2=25$, а $(\sqrt{7})^2=7$, и $25 > 7$, то $5 > \sqrt{7}$. Значит, $5 - \sqrt{7} > 0$, и $|5 - \sqrt{7}| = 5 - \sqrt{7}$.

Для второго слагаемого $|1 - \sqrt{7}|$: сравним 1 и $\sqrt{7}$. Так как $1^2=1$, а $(\sqrt{7})^2=7$, и $1 < 7$, то $1 < \sqrt{7}$. Значит, $1 - \sqrt{7} < 0$, и $|1 - \sqrt{7}| = -(1 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1$.

Теперь сложим полученные результаты:

$(5 - \sqrt{7}) + (\sqrt{7} - 1) = 5 - \sqrt{7} + \sqrt{7} - 1 = 4$

Ответ: $4$

5) Упростим уменьшаемое и вычитаемое по правилу $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(\sqrt{5} - 4)^2} - \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = |\sqrt{5} - 4| - |\sqrt{5} - 2|$

Рассмотрим первый модуль $|\sqrt{5} - 4|$. Сравним $\sqrt{5}$ и 4. $(\sqrt{5})^2 = 5$, $4^2 = 16$. Так как $5 < 16$, то $\sqrt{5} < 4$. Значит, выражение $\sqrt{5} - 4$ отрицательно. Следовательно, $|\sqrt{5} - 4| = -(\sqrt{5} - 4) = 4 - \sqrt{5}$.

Рассмотрим второй модуль $|\sqrt{5} - 2|$. Сравним $\sqrt{5}$ и 2. $(\sqrt{5})^2 = 5$, $2^2 = 4$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$. Значит, выражение $\sqrt{5} - 2$ положительно. Следовательно, $|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$.

Подставим упрощенные выражения обратно в разность и выполним вычитание:

$(4 - \sqrt{5}) - (\sqrt{5} - 2) = 4 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 2 = (4 + 2) - (\sqrt{5} + \sqrt{5}) = 6 - 2\sqrt{5}$

Ответ: $6 - 2\sqrt{5}$