Номер 109, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 109, страница 49.

Условие.

109. Сравните:

1) $\sqrt{82}$ и $\sqrt{91}$;

2) $\sqrt{5,3}$ и $\sqrt{5,1}$;

3) $3$ и $\sqrt{10}$;

4) $\sqrt{\frac{7}{8}}$ и $1$;

5) $-9$ и $-\sqrt{82}$;

6) $\sqrt{46}$ и $3\sqrt{5}$;

7) $4\sqrt{5}$ и $5\sqrt{3}$;

8) $0,4\sqrt{3\frac{1}{8}}$ и $\sqrt{0,6}$;

9) $\frac{5}{3}\sqrt{10\frac{4}{5}}$ и $6\sqrt{\frac{5}{6}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сравнить два корня, нужно сравнить их подкоренные выражения. Функция квадратного корня является возрастающей, поэтому чем больше число под корнем, тем больше значение самого корня. Сравниваем числа $82$ и $91$. Так как $82 < 91$, то и $\sqrt{82} < \sqrt{91}$. Ответ: $\sqrt{82} < \sqrt{91}$.

2) Аналогично первому пункту, сравниваем подкоренные выражения: $5,3$ и $5,1$. Так как $5,3 > 5,1$, то $\sqrt{5,3} > \sqrt{5,1}$. Ответ: $\sqrt{5,3} > \sqrt{5,1}$.

3) Чтобы сравнить число и корень, представим число в виде корня. Для этого возведем его в квадрат и поместим под знак корня: $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$. Теперь сравним $\sqrt{9}$ и $\sqrt{10}$. Так как $9 < 10$, то $\sqrt{9} < \sqrt{10}$, а значит $3 < \sqrt{10}$. Ответ: $3 < \sqrt{10}$.

4) Представим число $1$ в виде корня: $1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1}$. Теперь сравним $\sqrt{\frac{7}{8}}$ и $\sqrt{1}$. Сравниваем подкоренные выражения $\frac{7}{8}$ и $1$. Так как дробь $\frac{7}{8}$ является правильной (числитель меньше знаменателя), то она меньше единицы: $\frac{7}{8} < 1$. Следовательно, $\sqrt{\frac{7}{8}} < \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{\frac{7}{8}} < 1$. Ответ: $\sqrt{\frac{7}{8}} < 1$.

5) При сравнении отрицательных чисел, большим является то, модуль которого меньше. Сначала сравним положительные числа $9$ и $\sqrt{82}$. Представим $9$ в виде корня: $9 = \sqrt{81}$. Так как $81 < 82$, то $\sqrt{81} < \sqrt{82}$, то есть $9 < \sqrt{82}$. Умножая обе части неравенства на $-1$, мы должны поменять знак неравенства на противоположный: $-9 > -\sqrt{82}$. Ответ: $-9 > -\sqrt{82}$.

6) Чтобы сравнить выражения, внесем множитель перед корнем под знак корня во втором выражении. $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$. Теперь сравним $\sqrt{46}$ и $\sqrt{45}$. Так как $46 > 45$, то $\sqrt{46} > \sqrt{45}$. Следовательно, $\sqrt{46} > 3\sqrt{5}$. Ответ: $\sqrt{46} > 3\sqrt{5}$.

7) Внесем множители под знак корня в обоих выражениях. Для первого выражения: $4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$. Для второго выражения: $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$. Теперь сравним $\sqrt{80}$ и $\sqrt{75}$. Так как $80 > 75$, то $\sqrt{80} > \sqrt{75}$, а значит $4\sqrt{5} > 5\sqrt{3}$. Ответ: $4\sqrt{5} > 5\sqrt{3}$.

8) Преобразуем оба выражения для удобства сравнения. Первое выражение: $0,4\sqrt{3\frac{1}{8}}$. Переведем десятичную и смешанную дроби в обыкновенные: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ и $3\frac{1}{8} = \frac{25}{8}$. Тогда $0,4\sqrt{3\frac{1}{8}} = \frac{2}{5}\sqrt{\frac{25}{8}}$. Внесем множитель под корень: $\sqrt{(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{25}{8}} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{8}} = \sqrt{\frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$. Второе выражение: $\sqrt{0,6} = \sqrt{\frac{6}{10}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$. Теперь сравним $\sqrt{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{\frac{3}{5}}$. Для этого сравним подкоренные дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{5}$. Приведем их к общему знаменателю $10$: $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ и $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$. Так как $\frac{5}{10} < \frac{6}{10}$, то $\frac{1}{2} < \frac{3}{5}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{2}} < \sqrt{\frac{3}{5}}$, а значит $0,4\sqrt{3\frac{1}{8}} < \sqrt{0,6}$. Ответ: $0,4\sqrt{3\frac{1}{8}} < \sqrt{0,6}$.

9) Преобразуем оба выражения, внеся множители под знак корня. Первое выражение: $\frac{5}{3}\sqrt{10\frac{4}{5}}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $10\frac{4}{5} = \frac{54}{5}$. Тогда $\frac{5}{3}\sqrt{\frac{54}{5}} = \sqrt{(\frac{5}{3})^2 \cdot \frac{54}{5}} = \sqrt{\frac{25}{9} \cdot \frac{54}{5}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 54}{9 \cdot 5}} = \sqrt{5 \cdot 6} = \sqrt{30}$. Второе выражение: $6\sqrt{\frac{5}{6}}$. Внесем множитель под корень: $6\sqrt{\frac{5}{6}} = \sqrt{6^2 \cdot \frac{5}{6}} = \sqrt{36 \cdot \frac{5}{6}} = \sqrt{6 \cdot 5} = \sqrt{30}$. Так как оба выражения равны $\sqrt{30}$, то они равны между собой. Ответ: $\frac{5}{3}\sqrt{10\frac{4}{5}} = 6\sqrt{\frac{5}{6}}$.