Номер 106, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 106, страница 49.

Условие.

106. Упростите выражение:

1) $\frac{c}{c-4} - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}-2};$

2) $\frac{a+b}{2a+2\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}};$

3) $\frac{\sqrt{m}+9}{\sqrt{m}} : \frac{m-81}{5m};$

4) $\left(\frac{\sqrt{b}+7}{\sqrt{b}-7} - \frac{28\sqrt{b}}{b-49}\right) : \frac{\sqrt{b}-7}{b+7\sqrt{b}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{c}{c-4} - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}-2}$

Для того чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель первой дроби является разностью квадратов: $c-4 = (\sqrt{c})^2 - 2^2 = (\sqrt{c}-2)(\sqrt{c}+2)$.

Таким образом, общий знаменатель — это $(\sqrt{c}-2)(\sqrt{c}+2)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(\sqrt{c}+2)$:

$\frac{c}{c-4} - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}-2} = \frac{c}{(\sqrt{c}-2)(\sqrt{c}+2)} - \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}+2)}{(\sqrt{c}-2)(\sqrt{c}+2)}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{c - \sqrt{c}(\sqrt{c}+2)}{(\sqrt{c}-2)(\sqrt{c}+2)} = \frac{c - ((\sqrt{c})^2 + 2\sqrt{c})}{c-4} = \frac{c - (c + 2\sqrt{c})}{c-4} = \frac{c - c - 2\sqrt{c}}{c-4} = \frac{-2\sqrt{c}}{c-4}$

Ответ: $\frac{-2\sqrt{c}}{c-4}$.

2) $\frac{a+b}{2a+2\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Сначала упростим знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель за скобки. Общий множитель — $2\sqrt{a}$.

$2a+2\sqrt{ab} = 2\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} + 2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = 2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{a+b}{2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$, домножив вторую дробь на $2\sqrt{a}$:

$\frac{a+b}{2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot 2\sqrt{a}} = \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

Числитель $a+2\sqrt{ab}+b$ является полным квадратом суммы: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$.

Подставим это в выражение и сократим дробь:

$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}}$.

3) $\frac{\sqrt{m}+9}{\sqrt{m}} : \frac{m-81}{5m}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{\sqrt{m}+9}{\sqrt{m}} \cdot \frac{5m}{m-81}$

Разложим на множители выражение $m-81$ по формуле разности квадратов: $m-81 = (\sqrt{m}-9)(\sqrt{m}+9)$. Также представим $m$ в виде $(\sqrt{m})^2$.

$\frac{\sqrt{m}+9}{\sqrt{m}} \cdot \frac{5(\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m}-9)(\sqrt{m}+9)}$

Сократим общие множители $(\sqrt{m}+9)$ и $\sqrt{m}$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{5\sqrt{m}}{\sqrt{m}-9} = \frac{5\sqrt{m}}{\sqrt{m}-9}$

Ответ: $\frac{5\sqrt{m}}{\sqrt{m}-9}$.

4) $\left(\frac{\sqrt{b}+7}{\sqrt{b}-7} - \frac{28\sqrt{b}}{b-49}\right) : \frac{\sqrt{b}-7}{b+7\sqrt{b}}$

Выполним действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $b-49$ — это разность квадратов: $b-49 = (\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)$.

$\frac{\sqrt{b}+7}{\sqrt{b}-7} - \frac{28\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)} = \frac{(\sqrt{b}+7)(\sqrt{b}+7)}{(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)} - \frac{28\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)}$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{(\sqrt{b}+7)^2 - 28\sqrt{b}}{b-49} = \frac{(b+14\sqrt{b}+49) - 28\sqrt{b}}{b-49} = \frac{b - 14\sqrt{b} + 49}{b-49}$

Числитель $b - 14\sqrt{b} + 49$ является полным квадратом разности: $(\sqrt{b}-7)^2$.

Выражение в скобках равно: $\frac{(\sqrt{b}-7)^2}{(\sqrt{b}-7)(\sqrt{b}+7)} = \frac{\sqrt{b}-7}{\sqrt{b}+7}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{\sqrt{b}-7}{\sqrt{b}+7} : \frac{\sqrt{b}-7}{b+7\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}-7}{\sqrt{b}+7} \cdot \frac{b+7\sqrt{b}}{\sqrt{b}-7}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{b}$ в числителе второй дроби: $b+7\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{b}+7)$.

$\frac{\sqrt{b}-7}{\sqrt{b}+7} \cdot \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}+7)}{\sqrt{b}-7}$

Сократим общие множители $(\sqrt{b}-7)$ и $(\sqrt{b}+7)$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{\sqrt{b}}{1} = \sqrt{b}$

Ответ: $\sqrt{b}$.