Номер 104, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 104, страница 48.

Условие.

104. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{4}{\sqrt{15}}$;

2) $\frac{8}{\sqrt{2}}$;

3) $\frac{42}{5\sqrt{7}}$;

4) $\frac{m^4}{n\sqrt{m}}$;

5) $\frac{a+6}{\sqrt{a+6}}$;

6) $\frac{1}{\sqrt{11}-1}$;

7) $\frac{14}{\sqrt{17}+\sqrt{3}}$;

8) $\frac{15}{\sqrt{43}-\sqrt{13}}$;

9) $\frac{x+6}{\sqrt{x+10}-2}$;

10) $\frac{x^2-7x}{\sqrt{x-6}+1}$;

11) $\frac{x^2-25}{2-\sqrt{x-1}}$;

12) $\frac{y}{\sqrt{5+y}+\sqrt{4y+5}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt{15}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{15}$:

$\frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{4 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{4\sqrt{15}}{15}$

Ответ: $\frac{4\sqrt{15}}{15}$

2) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{8}{\sqrt{2}}$ на $\sqrt{2}$ и выполним упрощение:

$\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

Ответ: $4\sqrt{2}$

3) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{42}{5\sqrt{7}}$ на $\sqrt{7}$ и сократим полученную дробь:

$\frac{42}{5\sqrt{7}} = \frac{42 \cdot \sqrt{7}}{5\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{42\sqrt{7}}{5 \cdot 7} = \frac{42\sqrt{7}}{35} = \frac{6\sqrt{7}}{5}$

Ответ: $\frac{6\sqrt{7}}{5}$

4) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{m^4}{n\sqrt{m}}$ на $\sqrt{m}$ (при условии, что $m > 0$, $n \neq 0$):

$\frac{m^4}{n\sqrt{m}} = \frac{m^4 \cdot \sqrt{m}}{n\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}} = \frac{m^4\sqrt{m}}{nm} = \frac{m^3\sqrt{m}}{n}$

Ответ: $\frac{m^3\sqrt{m}}{n}$

5) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{a+6}{\sqrt{a+6}}$ на $\sqrt{a+6}$ (при условии, что $a+6 > 0$):

$\frac{a+6}{\sqrt{a+6}} = \frac{(a+6) \cdot \sqrt{a+6}}{\sqrt{a+6} \cdot \sqrt{a+6}} = \frac{(a+6)\sqrt{a+6}}{a+6} = \sqrt{a+6}$

Ответ: $\sqrt{a+6}$

6) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $\sqrt{11}+1$:

$\frac{1}{\sqrt{11}-1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{11}+1)}{(\sqrt{11}-1)(\sqrt{11}+1)} = \frac{\sqrt{11}+1}{(\sqrt{11})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{11}+1}{11-1} = \frac{\sqrt{11}+1}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{11}+1}{10}$

7) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $\sqrt{17}-\sqrt{3}$:

$\frac{14}{\sqrt{17}+\sqrt{3}} = \frac{14(\sqrt{17}-\sqrt{3})}{(\sqrt{17}+\sqrt{3})(\sqrt{17}-\sqrt{3})} = \frac{14(\sqrt{17}-\sqrt{3})}{(\sqrt{17})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{14(\sqrt{17}-\sqrt{3})}{17-3} = \frac{14(\sqrt{17}-\sqrt{3})}{14} = \sqrt{17}-\sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{17}-\sqrt{3}$

8) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $\sqrt{43}+\sqrt{13}$:

$\frac{15}{\sqrt{43}-\sqrt{13}} = \frac{15(\sqrt{43}+\sqrt{13})}{(\sqrt{43}-\sqrt{13})(\sqrt{43}+\sqrt{13})} = \frac{15(\sqrt{43}+\sqrt{13})}{(\sqrt{43})^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{15(\sqrt{43}+\sqrt{13})}{43-13} = \frac{15(\sqrt{43}+\sqrt{13})}{30} = \frac{\sqrt{43}+\sqrt{13}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{43}+\sqrt{13}}{2}$

9) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, $\sqrt{x+10}+2$. При этом $x+10 \ge 0$ и $\sqrt{x+10}-2 \neq 0$, то есть $x \ge -10$ и $x \neq -6$.

$\frac{x+6}{\sqrt{x+10}-2} = \frac{(x+6)(\sqrt{x+10}+2)}{(\sqrt{x+10}-2)(\sqrt{x+10}+2)} = \frac{(x+6)(\sqrt{x+10}+2)}{(\sqrt{x+10})^2 - 2^2} = \frac{(x+6)(\sqrt{x+10}+2)}{x+10-4} = \frac{(x+6)(\sqrt{x+10}+2)}{x+6}$

Так как $x \neq -6$, можно сократить на $(x+6)$:

$\sqrt{x+10}+2$

Ответ: $\sqrt{x+10}+2$

10) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, $\sqrt{x-6}-1$. При этом $x-6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$.

$\frac{x^2-7x}{\sqrt{x-6}+1} = \frac{(x^2-7x)(\sqrt{x-6}-1)}{(\sqrt{x-6}+1)(\sqrt{x-6}-1)} = \frac{x(x-7)(\sqrt{x-6}-1)}{(\sqrt{x-6})^2 - 1^2} = \frac{x(x-7)(\sqrt{x-6}-1)}{x-6-1} = \frac{x(x-7)(\sqrt{x-6}-1)}{x-7}$

При $x \neq 7$ сократим на $(x-7)$. Это преобразование является тождественным на всей области определения.

$x(\sqrt{x-6}-1)$

Ответ: $x(\sqrt{x-6}-1)$

11) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, $2+\sqrt{x-1}$. При этом $x-1 \ge 0$ и $2-\sqrt{x-1} \neq 0$, то есть $x \ge 1$ и $x \neq 5$.

$\frac{x^2-25}{2-\sqrt{x-1}} = \frac{(x^2-25)(2+\sqrt{x-1})}{(2-\sqrt{x-1})(2+\sqrt{x-1})} = \frac{(x-5)(x+5)(2+\sqrt{x-1})}{2^2-(\sqrt{x-1})^2} = \frac{(x-5)(x+5)(2+\sqrt{x-1})}{4-(x-1)} = \frac{(x-5)(x+5)(2+\sqrt{x-1})}{5-x}$

Так как $5-x = -(x-5)$ и $x \neq 5$, можем сократить на $(x-5)$:

$\frac{(x+5)(2+\sqrt{x-1})}{-1} = -(x+5)(2+\sqrt{x-1})$

Ответ: $-(x+5)(2+\sqrt{x-1})$

12) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, $\sqrt{5+y}-\sqrt{4y+5}$. При этом $5+y \ge 0$ и $4y+5 \ge 0$, то есть $y \ge -5/4$.

$\frac{y}{\sqrt{5+y}+\sqrt{4y+5}} = \frac{y(\sqrt{5+y}-\sqrt{4y+5})}{(\sqrt{5+y}+\sqrt{4y+5})(\sqrt{5+y}-\sqrt{4y+5})} = \frac{y(\sqrt{5+y}-\sqrt{4y+5})}{(\sqrt{5+y})^2-(\sqrt{4y+5})^2}$

$\frac{y(\sqrt{5+y}-\sqrt{4y+5})}{(5+y)-(4y+5)} = \frac{y(\sqrt{5+y}-\sqrt{4y+5})}{5+y-4y-5} = \frac{y(\sqrt{5+y}-\sqrt{4y+5})}{-3y}$

При $y \neq 0$ сократим на $y$. Преобразование тождественно на всей области определения.

$\frac{\sqrt{5+y}-\sqrt{4y+5}}{-3} = \frac{\sqrt{4y+5}-\sqrt{5+y}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{4y+5}-\sqrt{5+y}}{3}$