Номер 97, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 97, страница 47.

Условие.

97. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{3m^2}$, если $m \geq 0$;

2) $\sqrt{5n^2}$, если $n \leq 0$;

3) $\sqrt{50x^8}$;

4) $\sqrt{y^{13}}$;

5) $\sqrt{-b^{11}}$;

6) $\sqrt{a^7b^8}$, если $b \neq 0$;

7) $\sqrt{16x^2y}$, если $x < 0$;

8) $\sqrt{a^{23}b^{23}}$, если $a \leq 0$, $b \leq 0$;

9) $\sqrt{49a^{10}b^3}$, если $a > 0$;

10) $\sqrt{200a^6b^3}$, если $a < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{3m^2}$, используем свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и тождество $\sqrt{x^2}=|x|$.
$\sqrt{3m^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{m^2} = \sqrt{3} \cdot |m|$.
По условию $m \ge 0$, поэтому модуль неотрицательного числа равен самому числу: $|m| = m$.
Следовательно, $\sqrt{3m^2} = m\sqrt{3}$.
Ответ: $m\sqrt{3}$.

2) Для выражения $\sqrt{5n^2}$ применяем те же свойства: $\sqrt{5n^2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{n^2} = \sqrt{5} \cdot |n|$.
По условию $n \le 0$, поэтому модуль неположительного числа равен противоположному числу: $|n| = -n$.
Следовательно, $\sqrt{5n^2} = -n\sqrt{5}$.
Ответ: $-n\sqrt{5}$.

3) В выражении $\sqrt{50x^8}$ сначала разложим число 50 на множители и представим степень $x^8$ в виде квадрата.
$50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$.
$x^8 = (x^4)^2$.
$\sqrt{50x^8} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot (x^4)^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{(x^4)^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot |x^4| \cdot \sqrt{2}$.
Так как $x^4$ всегда неотрицательно (четная степень), то $|x^4| = x^4$.
Следовательно, $\sqrt{50x^8} = 5x^4\sqrt{2}$.
Ответ: $5x^4\sqrt{2}$.

4) Для того чтобы корень $\sqrt{y^{13}}$ был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $y^{13} \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
Представим $y^{13}$ как $y^{12} \cdot y = (y^6)^2 \cdot y$.
$\sqrt{y^{13}} = \sqrt{(y^6)^2 \cdot y} = \sqrt{(y^6)^2} \cdot \sqrt{y} = |y^6|\sqrt{y}$.
Поскольку $y \ge 0$, то $y^6 \ge 0$, и $|y^6| = y^6$.
Следовательно, $\sqrt{y^{13}} = y^6\sqrt{y}$.
Ответ: $y^6\sqrt{y}$.

5) Для того чтобы корень $\sqrt{-b^{11}}$ был определен, должно выполняться условие $-b^{11} \ge 0$, то есть $b^{11} \le 0$, что означает $b \le 0$.
Представим подкоренное выражение: $-b^{11} = -b \cdot b^{10} = -b \cdot (b^5)^2$.
$\sqrt{-b^{11}} = \sqrt{(b^5)^2 \cdot (-b)} = \sqrt{(b^5)^2} \cdot \sqrt{-b} = |b^5|\sqrt{-b}$.
Так как $b \le 0$, то $b^5 \le 0$ (нечетная степень), и $|b^5| = -b^5$.
Следовательно, $\sqrt{-b^{11}} = -b^5\sqrt{-b}$.
Ответ: $-b^5\sqrt{-b}$.

6) В выражении $\sqrt{a^7b^8}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^7b^8 \ge 0$. Поскольку $b \ne 0$, то $b^8 > 0$. Отсюда следует, что $a^7 \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
$\sqrt{a^7b^8} = \sqrt{a^6 \cdot a \cdot b^8} = \sqrt{(a^3)^2 \cdot (b^4)^2 \cdot a} = |a^3| \cdot |b^4| \cdot \sqrt{a}$.
Так как $a \ge 0$, то $a^3 \ge 0$, и $|a^3|=a^3$.
$b^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|b^4|=b^4$.
Следовательно, $\sqrt{a^7b^8} = a^3b^4\sqrt{a}$.
Ответ: $a^3b^4\sqrt{a}$.

7) В выражении $\sqrt{16x^2y}$ подкоренное выражение $16x^2y \ge 0$. Так как $16 > 0$ и $x^2 \ge 0$, то должно выполняться $y \ge 0$.
$\sqrt{16x^2y} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y} = 4|x|\sqrt{y}$.
По условию $x < 0$, поэтому $|x| = -x$.
Следовательно, $\sqrt{16x^2y} = 4(-x)\sqrt{y} = -4x\sqrt{y}$.
Ответ: $-4x\sqrt{y}$.

8) В выражении $\sqrt{a^{23}b^{23}}$ подкоренное выражение $a^{23}b^{23}=(ab)^{23}$ должно быть неотрицательным. Это значит $ab \ge 0$. Условия $a \le 0$ и $b \le 0$ этому удовлетворяют.
$\sqrt{a^{23}b^{23}} = \sqrt{(ab)^{23}} = \sqrt{(ab)^{22} \cdot ab} = \sqrt{((ab)^{11})^2 \cdot ab} = |(ab)^{11}|\sqrt{ab}$.
Так как $ab \ge 0$, то $(ab)^{11} \ge 0$, и $|(ab)^{11}|=(ab)^{11}$.
Следовательно, $\sqrt{a^{23}b^{23}} = (ab)^{11}\sqrt{ab} = a^{11}b^{11}\sqrt{ab}$.
Ответ: $a^{11}b^{11}\sqrt{ab}$.

9) В выражении $\sqrt{49a^{10}b^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным. По условию $a > 0$, поэтому $a^{10} > 0$. Значит, $b^3 \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
$\sqrt{49a^{10}b^3} = \sqrt{49 \cdot a^{10} \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{7^2 \cdot (a^5)^2 \cdot b^2 \cdot b} = 7|a^5||b|\sqrt{b}$.
Так как $a > 0$, то $a^5 > 0$, и $|a^5|=a^5$.
Так как $b \ge 0$, то $|b|=b$.
Следовательно, $\sqrt{49a^{10}b^3} = 7a^5b\sqrt{b}$.
Ответ: $7a^5b\sqrt{b}$.

10) В выражении $\sqrt{200a^6b^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным. $200 > 0$. По условию $a < 0$, но $a^6 > 0$ (четная степень). Значит, $b^3 \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
$\sqrt{200a^6b^3} = \sqrt{100 \cdot 2 \cdot a^6 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{(a^3)^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{2b} = 10|a^3||b|\sqrt{2b}$.
Так как $a < 0$, то $a^3 < 0$, и $|a^3| = -a^3$.
Так как $b \ge 0$, то $|b|=b$.
Следовательно, $\sqrt{200a^6b^3} = 10(-a^3)b\sqrt{2b} = -10a^3b\sqrt{2b}$.
Ответ: $-10a^3b\sqrt{2b}$.