Номер 94, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 94, страница 46.

Условие.

94. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + x - 2}$, если $x \ge 0$;

2) $y = \sqrt{x^2 + 2x - 1}$, если $x \le 0$;

3) $y = \sqrt{x^2 - 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2} + x - 2$ при условии $x \geq 0$.
По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$.
Так как по условию $x \geq 0$, то $|x| = x$.
Подставим это в исходное уравнение функции: $y = x + x - 2$, что дает $y = 2x - 2$.
Это уравнение линейной функции, график которой — прямая линия. Поскольку функция определена только для $x \geq 0$, ее графиком будет луч.
Найдем координаты начальной точки луча (при $x=0$): $y = 2(0) - 2 = -2$. Начало луча в точке $(0, -2)$.
Для построения луча найдем еще одну точку, принадлежащую ему, например, при $x=1$: $y = 2(1) - 2 = 0$. Луч проходит через точку $(1, 0)$.

Ответ: Графиком функции является луч с началом в точке $(0, -2)$, проходящий через точку $(1, 0)$.

2) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2} + 2x - 1$ при условии $x \leq 0$.
По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$.
Так как по условию $x \leq 0$, то $|x| = -x$.
Подставим это в исходное уравнение функции: $y = -x + 2x - 1$, что дает $y = x - 1$.
Это уравнение линейной функции, график которой — прямая линия. Поскольку функция определена только для $x \leq 0$, ее графиком будет луч.
Найдем координаты начальной точки луча (при $x=0$): $y = 0 - 1 = -1$. Начало луча в точке $(0, -1)$.
Для построения луча найдем еще одну точку, принадлежащую ему, например, при $x=-2$: $y = -2 - 1 = -3$. Луч проходит через точку $(-2, -3)$.

Ответ: Графиком функции является луч с началом в точке $(0, -1)$, проходящий через точку $(-2, -3)$.

3) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2} - 3$.
Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Упростим выражение: $\sqrt{x^2} = |x|$. Таким образом, функция имеет вид $y = |x| - 3$.
Это кусочно-линейная функция. Раскроем модуль: $y = \begin{cases} x - 3, & \text{если } x \geq 0 \\ -x - 3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
График этой функции можно получить из графика функции $y = |x|$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси OY.
График состоит из двух лучей, выходящих из одной точки — вершины.
Найдем координаты вершины. Это происходит при $x=0$: $y = |0| - 3 = -3$. Вершина находится в точке $(0, -3)$.
Найдем точки пересечения с осью OX ($y=0$): $|x| - 3 = 0 \Rightarrow |x| = 3$. Отсюда $x=3$ и $x=-3$.
Точки пересечения с осью OX: $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: График функции — это "галочка", состоящая из двух лучей, с вершиной в точке $(0, -3)$. Один луч задается уравнением $y = x-3$ для $x \geq 0$ и проходит через точку $(3,0)$. Второй луч задается уравнением $y = -x-3$ для $x < 0$ и проходит через точку $(-3,0)$.