Номер 92, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 92, страница 46.

Условие.

92. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{75 \cdot 27}$;

3) $\sqrt{1,6 \cdot 14,4}$;

2) $\sqrt{72 \cdot 200}$;

4) $\sqrt{1690 \cdot 6,4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{75 \cdot 27}$, разложим числа под корнем на множители таким образом, чтобы выделить полные квадраты. Это позволит упростить извлечение корня.

Представим число $75$ как произведение $25 \cdot 3$ (где $25 = 5^2$) и число $27$ как $9 \cdot 3$ (где $9 = 3^2$).

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$\sqrt{75 \cdot 27} = \sqrt{(25 \cdot 3) \cdot (9 \cdot 3)}$

Теперь сгруппируем множители, чтобы объединить одинаковые числа и полные квадраты:

$\sqrt{25 \cdot 9 \cdot (3 \cdot 3)} = \sqrt{25 \cdot 9 \cdot 9} = \sqrt{25 \cdot 81}$

Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{25} \cdot \sqrt{81} = 5 \cdot 9 = 45$

Ответ: 45

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt{72 \cdot 200}$ поступим аналогичным образом, разложив подкоренные числа на удобные множители.

Представим число $72$ как $36 \cdot 2$ (где $36 = 6^2$) и число $200$ как $100 \cdot 2$ (где $100 = 10^2$).

$\sqrt{72 \cdot 200} = \sqrt{(36 \cdot 2) \cdot (100 \cdot 2)}$

Сгруппируем множители:

$\sqrt{36 \cdot 100 \cdot (2 \cdot 2)} = \sqrt{36 \cdot 100 \cdot 4}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя, являющегося полным квадратом:

$\sqrt{36} \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{4} = 6 \cdot 10 \cdot 2 = 120$

Ответ: 120

3) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{1,6 \cdot 14,4}$, преобразуем десятичные дроби в произведение целого числа и степени десяти.

Представим $1,6$ как $16 \cdot 0,1$ и $14,4$ как $144 \cdot 0,1$.

$\sqrt{1,6 \cdot 14,4} = \sqrt{(16 \cdot 0,1) \cdot (144 \cdot 0,1)}$

Сгруппируем множители:

$\sqrt{16 \cdot 144 \cdot (0,1 \cdot 0,1)} = \sqrt{16 \cdot 144 \cdot 0,01}$

Извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{16} \cdot \sqrt{144} \cdot \sqrt{0,01} = 4 \cdot 12 \cdot 0,1 = 48 \cdot 0,1 = 4,8$

Ответ: 4,8

4) Для вычисления значения выражения $\sqrt{1690 \cdot 6,4}$ применим тот же метод преобразования чисел.

Представим $1690$ как $169 \cdot 10$ (где $169 = 13^2$) и $6,4$ как $64 \cdot 0,1$ (где $64 = 8^2$).

$\sqrt{1690 \cdot 6,4} = \sqrt{(169 \cdot 10) \cdot (64 \cdot 0,1)}$

Сгруппируем множители так, чтобы "десятки" взаимно уничтожились:

$\sqrt{169 \cdot 64 \cdot (10 \cdot 0,1)} = \sqrt{169 \cdot 64 \cdot 1} = \sqrt{169 \cdot 64}$

Извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{169} \cdot \sqrt{64} = 13 \cdot 8 = 104$

Ответ: 104