Номер 95, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Решите уравнение:

1) $ \sqrt{x^2} = 4 - x; $

2) $ \sqrt{x^2} = x + 1. $

1) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2} = 4 - x$.

По определению арифметического квадратного корня, выражение $\sqrt{x^2}$ равно модулю числа $x$, то есть $\sqrt{x^2} = |x|$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде: $|x| = 4 - x$.

Левая часть уравнения, $|x|$, по определению модуля всегда неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной:

$4 - x \ge 0$

$x \le 4$

Теперь решим уравнение $|x| = 4 - x$, рассмотрев два случая раскрытия модуля.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x = 4 - x$

$2x = 4$

$x = 2$

Этот корень удовлетворяет условиям $x \ge 0$ и $x \le 4$, следовательно, является решением исходного уравнения.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$-x = 4 - x$

$0 = 4$

Получено неверное равенство, значит, в этом случае корней нет.

Объединяя результаты, получаем единственный корень.

Ответ: $x=2$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2} = x + 1$.

Заменяем $\sqrt{x^2}$ на $|x|$:

$|x| = x + 1$.

Так как модуль числа $|x|$ не может быть отрицательным, то правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Это область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля в рамках ОДЗ.

Случай 1: $x \ge 0$.

Это условие уже входит в ОДЗ ($x \ge -1$). В этом случае $|x| = x$. Уравнение становится:

$x = x + 1$

$0 = 1$

Это неверное равенство, следовательно, при $x \ge 0$ решений нет.

Случай 2: $x < 0$.

Учитывая ОДЗ ($x \ge -1$), мы рассматриваем интервал $-1 \le x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$-x = x + 1$

$-1 = 2x$

$x = -1/2$

Полученный корень $x = -1/2$ принадлежит интервалу $-1 \le x < 0$, поэтому он является решением.

Ответ: $x = -1/2$.