Номер 96, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 96, страница 47.

Условие.

96. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{56}$;

2) $\sqrt{18}$;

3) $\sqrt{800}$;

4) $\sqrt{0,96}$;

5) $\frac{1}{3}\sqrt{90}$;

6) $-1,5\sqrt{192}$;

7) $-7\sqrt{0,12}$;

8) $\frac{3}{7}\sqrt{10\frac{8}{9}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{56}$, нужно разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным квадратом.

Разложим число 56 на множители, выделив наибольший возможный квадрат: $56 = 4 \cdot 14$.

Используя свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$), получаем:

$\sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{14} = 2\sqrt{14}$.

Ответ: $2\sqrt{14}$.

2)

Разложим подкоренное выражение 18 на множители, один из которых является точным квадратом.

$18 = 9 \cdot 2$.

Применим свойство корня:

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$.

3)

Разложим число 800 на множители, выделив наибольший точный квадрат.

$800 = 400 \cdot 2$.

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = \sqrt{400} \cdot \sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.

Ответ: $20\sqrt{2}$.

4)

Для вынесения множителя из-под корня в выражении $\sqrt{0,96}$, представим десятичную дробь в виде произведения, где один из множителей является точным квадратом.

$0,96 = 0,16 \cdot 6$. Здесь 0,16 является точным квадратом ($0,4^2 = 0,16$).

$\sqrt{0,96} = \sqrt{0,16 \cdot 6} = \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{6} = 0,4\sqrt{6}$.

В качестве альтернативы можно было работать с обыкновенными дробями: $\sqrt{0,96} = \sqrt{\frac{96}{100}} = \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \frac{4\sqrt{6}}{10} = \frac{2\sqrt{6}}{5} = 0,4\sqrt{6}$.

Ответ: $0,4\sqrt{6}$.

5)

Рассмотрим выражение $\frac{1}{3}\sqrt{90}$. Сначала упростим корень $\sqrt{90}$.

Разложим 90 на множители: $90 = 9 \cdot 10$.

$\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$.

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$\frac{1}{3} \cdot (3\sqrt{10}) = \frac{1 \cdot 3}{3}\sqrt{10} = 1 \cdot \sqrt{10} = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$.

6)

В выражении $-1,5\sqrt{192}$ вынесем множитель из-под знака корня $\sqrt{192}$.

Разложим 192 на множители, выделив наибольший точный квадрат: $192 = 64 \cdot 3$.

$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Подставим это в исходное выражение:

$-1,5 \cdot (8\sqrt{3}) = (-1,5 \cdot 8)\sqrt{3} = -12\sqrt{3}$.

Ответ: $-12\sqrt{3}$.

7)

В выражении $-7\sqrt{0,12}$ упростим корень $\sqrt{0,12}$.

Представим 0,12 в виде произведения: $0,12 = 0,04 \cdot 3$.

$\sqrt{0,12} = \sqrt{0,04 \cdot 3} = \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{3} = 0,2\sqrt{3}$.

Теперь умножим на коэффициент перед корнем:

$-7 \cdot (0,2\sqrt{3}) = (-7 \cdot 0,2)\sqrt{3} = -1,4\sqrt{3}$.

Ответ: $-1,4\sqrt{3}$.

8)

В выражении $\frac{3}{7}\sqrt{10\frac{8}{9}}$ сначала преобразуем смешанную дробь под корнем в неправильную.

$10\frac{8}{9} = \frac{10 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{98}{9}$.

Теперь выражение имеет вид: $\frac{3}{7}\sqrt{\frac{98}{9}}$.

Используем свойство корня от дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\frac{3}{7} \cdot \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{9}}$.

Упростим корни: $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.

Подставим упрощенные значения и выполним умножение:

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{3} = \frac{3 \cdot 7\sqrt{2}}{7 \cdot 3}$.

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{7}\sqrt{2}}{\cancel{7} \cdot \cancel{3}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.