Номер 100, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 100, страница 47.

Условие.

100. Упростите выражение:

1) $\sqrt{25a} + \sqrt{36a} - \sqrt{49a};$

2) $\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{300};$

3) $3\sqrt{32a} - 5\sqrt{98a} + \frac{1}{3}\sqrt{288a}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное выражение: $\sqrt{25a} + \sqrt{36a} - \sqrt{49a}$.
Для упрощения выражения необходимо вынести множители из-под знака корня. Воспользуемся свойством $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при условии, что $a \ge 0$, чтобы корень из $a$ имел смысл).
Разложим каждый член выражения:
$\sqrt{25a} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a} = 5\sqrt{a}$
$\sqrt{36a} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a} = 6\sqrt{a}$
$\sqrt{49a} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a} = 7\sqrt{a}$
Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$5\sqrt{a} + 6\sqrt{a} - 7\sqrt{a}$
Все слагаемые являются подобными, так как имеют общий множитель $\sqrt{a}$. Сложим и вычтем их коэффициенты:
$(5 + 6 - 7)\sqrt{a} = (11 - 7)\sqrt{a} = 4\sqrt{a}$.
Ответ: $4\sqrt{a}$.

2) Исходное выражение: $\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{300}$.
Чтобы упростить это выражение, нужно вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные числа на множители так, чтобы один из них был полным квадратом.
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$
Подставим полученные значения в выражение:
$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 10\sqrt{3}$
Все слагаемые имеют общий множитель $\sqrt{3}$, поэтому они подобные. Сложим и вычтем их коэффициенты:
$(3 - 2 + 10)\sqrt{3} = (1 + 10)\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$.
Ответ: $11\sqrt{3}$.

3) Исходное выражение: $3\sqrt{32a} - 5\sqrt{98a} + \frac{1}{3}\sqrt{288a}$.
Упростим каждый член выражения, вынося множитель из-под знака корня (при $a \ge 0$). Для этого представим подкоренные выражения в виде произведения, где один из множителей — наибольший возможный полный квадрат.
$3\sqrt{32a} = 3\sqrt{16 \cdot 2a} = 3 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{2a} = 3 \cdot 4\sqrt{2a} = 12\sqrt{2a}$
$5\sqrt{98a} = 5\sqrt{49 \cdot 2a} = 5 \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{2a} = 5 \cdot 7\sqrt{2a} = 35\sqrt{2a}$
$\frac{1}{3}\sqrt{288a} = \frac{1}{3}\sqrt{144 \cdot 2a} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{144} \cdot \sqrt{2a} = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{2a} = 4\sqrt{2a}$
Теперь подставим упрощенные члены в исходное выражение:
$12\sqrt{2a} - 35\sqrt{2a} + 4\sqrt{2a}$
Все слагаемые являются подобными, так как имеют общий множитель $\sqrt{2a}$. Сложим и вычтем их коэффициенты:
$(12 - 35 + 4)\sqrt{2a} = (-23 + 4)\sqrt{2a} = -19\sqrt{2a}$.
Ответ: $-19\sqrt{2a}$.