Номер 105, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 105, страница 48.

Условие.

105. Найдите значение выражения:

1) $\frac{6}{7 - 3\sqrt{5}} - \frac{6}{7 + 3\sqrt{5}};

2) $\frac{1}{\sqrt{5 + \sqrt{12}} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5 + \sqrt{12}} + 1};

3) $\frac{\sqrt{17} + \sqrt{13}}{\sqrt{17} - \sqrt{13}} + \frac{\sqrt{17} - \sqrt{13}}{\sqrt{17} + \sqrt{13}}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{6}{7-3\sqrt{5}} - \frac{6}{7+3\sqrt{5}}$

Чтобы найти значение этого выражения, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей исходных дробей: $(7-3\sqrt{5})(7+3\sqrt{5})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(7-3\sqrt{5})(7+3\sqrt{5}) = 7^2 - (3\sqrt{5})^2 = 49 - 9 \cdot 5 = 49 - 45 = 4$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $4$ и выполним вычитание:

$\frac{6(7+3\sqrt{5})}{ (7-3\sqrt{5})(7+3\sqrt{5})} - \frac{6(7-3\sqrt{5})}{(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})} = \frac{6(7+3\sqrt{5}) - 6(7-3\sqrt{5})}{4}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{42 + 18\sqrt{5} - 42 + 18\sqrt{5}}{4} = \frac{36\sqrt{5}}{4}$

Сократим дробь:

$\frac{36\sqrt{5}}{4} = 9\sqrt{5}$

Ответ: $9\sqrt{5}$

2) $\frac{1}{\sqrt{5+\sqrt{12}}-1} - \frac{1}{\sqrt{5+\sqrt{12}}+1}$

Для решения приведем дроби к общему знаменателю. Обозначим $A = \sqrt{5+\sqrt{12}}$. Тогда выражение примет вид $\frac{1}{A-1} - \frac{1}{A+1}$.

Общий знаменатель: $(A-1)(A+1) = A^2 - 1^2$.
Подставим обратно $A = \sqrt{5+\sqrt{12}}$:

$(\sqrt{5+\sqrt{12}})^2 - 1^2 = (5+\sqrt{12}) - 1 = 4+\sqrt{12}$.

Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Знаменатель равен $4+2\sqrt{3}$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{(A+1) - (A-1)}{(A-1)(A+1)} = \frac{A+1-A+1}{A^2-1} = \frac{2}{A^2-1}$

Подставим значение $A^2-1 = 4+2\sqrt{3}$:

$\frac{2}{4+2\sqrt{3}} = \frac{2}{2(2+\sqrt{3})} = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2-\sqrt{3}$:

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} \cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$

Ответ: $2-\sqrt{3}$

3) $\frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{\sqrt{17}-\sqrt{13}} + \frac{\sqrt{17}-\sqrt{13}}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(\sqrt{17}-\sqrt{13})(\sqrt{17}+\sqrt{13})$.
Используя формулу разности квадратов, находим знаменатель:

$(\sqrt{17})^2 - (\sqrt{13})^2 = 17 - 13 = 4$.

Теперь преобразуем исходное выражение:

$\frac{(\sqrt{17}+\sqrt{13})(\sqrt{17}+\sqrt{13})}{(\sqrt{17}-\sqrt{13})(\sqrt{17}+\sqrt{13})} + \frac{(\sqrt{17}-\sqrt{13})(\sqrt{17}-\sqrt{13})}{(\sqrt{17}+\sqrt{13})(\sqrt{17}-\sqrt{13})} = \frac{(\sqrt{17}+\sqrt{13})^2 + (\sqrt{17}-\sqrt{13})^2}{4}$

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(\sqrt{17}+\sqrt{13})^2 = (\sqrt{17})^2 + 2\sqrt{17}\sqrt{13} + (\sqrt{13})^2 = 17 + 2\sqrt{221} + 13 = 30 + 2\sqrt{221}$.

$(\sqrt{17}-\sqrt{13})^2 = (\sqrt{17})^2 - 2\sqrt{17}\sqrt{13} + (\sqrt{13})^2 = 17 - 2\sqrt{221} + 13 = 30 - 2\sqrt{221}$.

Сложим полученные выражения в числителе:

$(30 + 2\sqrt{221}) + (30 - 2\sqrt{221}) = 30 + 30 = 60$.

Подставим результат в дробь:

$\frac{60}{4} = 15$.

Ответ: $15$