Номер 99, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 99, страница 47.

Условие.

99. Внесите множитель под знак корня:

1) $b\sqrt{13}$;

2) $x\sqrt{y}$, если $x \geq 0$;

3) $x^3\sqrt{-x}$;

4) $4a\sqrt{\frac{a}{2}}$;

5) $(b+7)\sqrt{\frac{1}{b+7}}$;

6) $(x-9)\sqrt{\frac{1}{18-2x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $b\sqrt{13}$

Чтобы внести множитель $b$ под знак квадратного корня, необходимо рассмотреть два случая, так как знак $b$ заранее неизвестен.

Случай 1: Множитель $b$ неотрицателен, то есть $b \ge 0$. В этом случае мы можем возвести его в квадрат и внести под знак корня:
$b\sqrt{13} = \sqrt{b^2 \cdot 13} = \sqrt{13b^2}$.

Случай 2: Множитель $b$ отрицателен, то есть $b < 0$. В этом случае мы представляем его в виде $b = -(-b)$, где $(-b)$ — положительное число. При внесении под корень перед корнем остается знак «минус»:
$b\sqrt{13} = -(-b)\sqrt{13} = -\sqrt{(-b)^2 \cdot 13} = -\sqrt{b^2 \cdot 13} = -\sqrt{13b^2}$.

Ответ: $\sqrt{13b^2}$ при $b \ge 0$; $-\sqrt{13b^2}$ при $b < 0$.

2) $x\sqrt{y}$, если $x \ge 0$

По условию множитель $x$ является неотрицательным ($x \ge 0$). Также для существования выражения $\sqrt{y}$ должно выполняться неявное условие $y \ge 0$.

Поскольку $x \ge 0$, мы можем внести его под знак корня, возведя в квадрат:

$x\sqrt{y} = \sqrt{x^2 \cdot y} = \sqrt{x^2y}$.

Ответ: $\sqrt{x^2y}$.

3) $x^3\sqrt{-x}$

Сначала определим область допустимых значений для переменной $x$. Выражение под знаком корня, $-x$, должно быть неотрицательным:

$-x \ge 0 \implies x \le 0$.

Теперь рассмотрим знак множителя $x^3$. Если $x=0$, выражение равно 0. Если $x < 0$, то $x^3$ также будет отрицательным ($x^3 < 0$).

Так как при $x<0$ множитель $x^3$ отрицателен, при внесении его под знак корня, перед корнем необходимо поставить знак «минус»:

$x^3\sqrt{-x} = - (-(x^3))\sqrt{-x} = -\sqrt{(-x^3)^2 \cdot (-x)} = -\sqrt{(x^3)^2 \cdot (-x)} = -\sqrt{x^6 \cdot (-x)} = -\sqrt{-x^7}$.

Поскольку $x \le 0$, подкоренное выражение $-x^7$ будет неотрицательным.

Ответ: $-\sqrt{-x^7}$.

4) $4a\sqrt{\frac{a}{2}}$

Определим область допустимых значений. Выражение под корнем $\frac{a}{2}$ должно быть неотрицательным:

$\frac{a}{2} \ge 0 \implies a \ge 0$.

Поскольку $a \ge 0$, множитель $4a$ также является неотрицательным ($4a \ge 0$). Следовательно, мы можем внести его под знак корня, возведя в квадрат:

$4a\sqrt{\frac{a}{2}} = \sqrt{(4a)^2 \cdot \frac{a}{2}} = \sqrt{16a^2 \cdot \frac{a}{2}}$.

Упростим выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{16a^2 \cdot a}{2}} = \sqrt{\frac{16a^3}{2}} = \sqrt{8a^3}$.

Ответ: $\sqrt{8a^3}$.

5) $(b+7)\sqrt{\frac{1}{b+7}}$

Область допустимых значений определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным. Так как числитель дроби равен 1, знаменатель должен быть строго положительным:

$b+7 > 0 \implies b > -7$.

Из условия $b > -7$ следует, что множитель $(b+7)$ является положительным. Вносим положительный множитель под корень, возводя его в квадрат:

$(b+7)\sqrt{\frac{1}{b+7}} = \sqrt{(b+7)^2 \cdot \frac{1}{b+7}}$.

Упростим подкоренное выражение, сократив дробь на $(b+7)$:

$\sqrt{\frac{(b+7)^2}{b+7}} = \sqrt{b+7}$.

Ответ: $\sqrt{b+7}$.

6) $(x-9)\sqrt{\frac{1}{18-2x}}$

Найдем область допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Так как числитель дроби равен 1, знаменатель должен быть строго положительным:

$18 - 2x > 0 \implies 18 > 2x \implies 9 > x$.

Теперь определим знак множителя $(x-9)$. Поскольку $x < 9$, разность $x-9$ будет отрицательной.

Так как множитель $(x-9)$ отрицателен, при внесении его под знак корня перед корнем остается знак «минус»:

$(x-9)\sqrt{\frac{1}{18-2x}} = -(-(x-9))\sqrt{\frac{1}{18-2x}} = -\sqrt{(x-9)^2 \cdot \frac{1}{18-2x}}$.

Упростим выражение под корнем. Заметим, что $18-2x = 2(9-x)$. Также $(x-9)^2 = (9-x)^2$:

$-\sqrt{\frac{(9-x)^2}{2(9-x)}}$.

Поскольку $x < 9$, то $9-x > 0$, и мы можем сократить дробь на $(9-x)$:

$-\sqrt{\frac{9-x}{2}}$.

Ответ: $-\sqrt{\frac{9-x}{2}}$.