Номер 93, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 93, страница 46.

Условие.

93. Упростите выражение:

1) $\sqrt{81y^{50}}$, если $y \le 0$;

2) $\sqrt{25x^2y^{12}}$, если $x \ge 0$;

3) $\sqrt{0,36x^{14}y^{18}}$, если $x \le 0, y \ge 0$;

4) $\frac{\sqrt{m^{34}p^{16}c^{26}}}{m^3p^5c^{11}}$, если $m < 0, c > 0$;

5) $\frac{1,6a^7}{b^3}\sqrt{\frac{b^{22}}{0,64a^4}}$, если $b > 0$;

6) $-0,3x^5\sqrt{1,69x^{10}y^{32}}$, если $x \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{81y^{50}}$ при условии $y \le 0$, воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{81y^{50}} = \sqrt{9^2 \cdot (y^{25})^2} = \sqrt{(9y^{25})^2} = |9y^{25}|$.
Так как по условию $y \le 0$, то $y^{25}$ (как нечетная степень) также будет меньше или равно нулю ($y^{25} \le 0$).
Следовательно, выражение под знаком модуля $9y^{25} \le 0$.
По определению модуля, $|a| = -a$, если $a \le 0$.
Таким образом, $|9y^{25}| = -9y^{25}$.
Ответ: $-9y^{25}$.

2) Упростим выражение $\sqrt{25x^2y^{12}}$, если $x \ge 0$.
Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{25x^2y^{12}} = \sqrt{(5xy^6)^2} = |5xy^6|$.
По условию $x \ge 0$.
Число 5 положительное ($5 > 0$).
Выражение $y^6$ всегда неотрицательно ($y^6 \ge 0$), так как его степень четная.
Следовательно, произведение $5xy^6 \ge 0$.
По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$.
Таким образом, $|5xy^6| = 5xy^6$.
Ответ: $5xy^6$.

3) Упростим выражение $\sqrt{0.36x^{14}y^{18}}$, если $x \le 0, y \ge 0$.
$\sqrt{0.36x^{14}y^{18}} = \sqrt{(0.6x^7y^9)^2} = |0.6x^7y^9|$.
По условию $x \le 0$ и $y \ge 0$.
Выражение $x^7 \le 0$ (нечетная степень отрицательного или нулевого числа).
Выражение $y^9 \ge 0$ (нечетная степень положительного или нулевого числа).
Число 0.6 положительное ($0.6 > 0$).
Знак всего произведения $0.6x^7y^9$ определяется как $(+) \cdot (\le 0) \cdot (\ge 0)$, что дает результат $\le 0$.
Следовательно, $0.6x^7y^9 \le 0$.
Раскрываем модуль: $|0.6x^7y^9| = -(0.6x^7y^9) = -0.6x^7y^9$.
Ответ: $-0.6x^7y^9$.

4) Упростим выражение $\frac{\sqrt{m^{34}p^{16}c^{26}}}{m^3p^5c^{11}}$, если $m < 0, c > 0$.
Сначала упростим числитель: $\sqrt{m^{34}p^{16}c^{26}} = \sqrt{(m^{17}p^8c^{13})^2} = |m^{17}p^8c^{13}|$.
Оценим знак выражения под модулем, учитывая условия $m < 0, c > 0$.
$m^{17} < 0$ (нечетная степень отрицательного числа).
$p^8 \ge 0$ (четная степень, $p \ne 0$ из-за знаменателя).
$c^{13} > 0$ (нечетная степень положительного числа).
Знак произведения $m^{17}p^8c^{13}$ определяется как $(< 0) \cdot (\ge 0) \cdot (> 0)$, что дает результат $\le 0$.
Значит, $|m^{17}p^8c^{13}| = -m^{17}p^8c^{13}$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{-m^{17}p^8c^{13}}{m^3p^5c^{11}}$.
Сокращаем дробь по свойству степеней $\frac{a^n}{a^k} = a^{n-k}$:
$-m^{17-3}p^{8-5}c^{13-11} = -m^{14}p^3c^2$.
Ответ: $-m^{14}p^3c^2$.

5) Упростим выражение $\frac{1.6a^7}{b^3}\sqrt{\frac{b^{22}}{0.64a^4}}$, если $b > 0$.
Предполагаем, что $a \ne 0$, иначе выражение в знаменателе корня равно нулю.
Упростим корень: $\sqrt{\frac{b^{22}}{0.64a^4}} = \frac{\sqrt{b^{22}}}{\sqrt{0.64a^4}} = \frac{|b^{11}|}{|0.8a^2|}$.
Раскроем модули с учетом условий. Так как $b > 0$, то $b^{11} > 0$, и $|b^{11}| = b^{11}$.
Выражение $a^2 \ge 0$. Поскольку $a \ne 0$, то $a^2 > 0$. Значит $0.8a^2 > 0$ и $|0.8a^2| = 0.8a^2$.
Подставим упрощенный корень в выражение: $\frac{1.6a^7}{b^3} \cdot \frac{b^{11}}{0.8a^2}$.
Сгруппируем и упростим: $(\frac{1.6}{0.8}) \cdot (\frac{a^7}{a^2}) \cdot (\frac{b^{11}}{b^3}) = 2 \cdot a^{7-2} \cdot b^{11-3} = 2a^5b^8$.
Ответ: $2a^5b^8$.

6) Упростим выражение $-0.3x^5\sqrt{1.69x^{10}y^{32}}$, если $x \le 0$.
Упростим корень: $\sqrt{1.69x^{10}y^{32}} = \sqrt{(1.3x^5y^{16})^2} = |1.3x^5y^{16}|$.
Оценим знак выражения под модулем. По условию $x \le 0$.
$1.3 > 0$.
$x^5 \le 0$ (нечетная степень).
$y^{16} \ge 0$ (четная степень).
Знак произведения $1.3x^5y^{16}$ определяется как $(+) \cdot (\le 0) \cdot (\ge 0)$, что дает результат $\le 0$.
Следовательно, $|1.3x^5y^{16}| = -1.3x^5y^{16}$.
Подставим в исходное выражение: $-0.3x^5 \cdot (-1.3x^5y^{16})$.
Выполним умножение: $(-0.3) \cdot (-1.3) \cdot x^5 \cdot x^5 \cdot y^{16} = 0.39x^{5+5}y^{16} = 0.39x^{10}y^{16}$.
Ответ: $0.39x^{10}y^{16}$.