Номер 87, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 87, страница 45.

Условие.

87. Верно ли утверждение:

1) $7 \notin N;$

2) $7 \in Z;$

3) $7 \in Q;$

4) $7 \in R;$

5) $-3,8 \notin N;$

6) $-3,8 \in Q;$

7) $-3,8 \notin R;$

8) $\sqrt{5} \in Q;$

9) $\sqrt{5} \notin R;$

10) $\sqrt{36} \in Z;$

11) $\sqrt{36} \in N;$

12) $\sqrt{36} \in Q?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения основных числовых множеств:

• $N$ – множество натуральных чисел. Это числа, используемые для счета: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ – множество целых чисел. Это натуральные числа, противоположные им числа и ноль: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• $Q$ – множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ – целое число ($m \in Z$), а $n$ – натуральное число ($n \in N$).
• $R$ – множество действительных (вещественных) чисел. Оно включает в себя все рациональные и иррациональные числа.

Проверим каждое утверждение:

1) $7 \in N$

Число 7 используется при счете предметов, оно является положительным и целым. Следовательно, 7 принадлежит множеству натуральных чисел. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) $7 \in Z$

Множество целых чисел $Z$ включает в себя все натуральные числа. Так как 7 – натуральное число, оно также является и целым. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

3) $7 \notin Q$

Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Для числа 7 имеем: $7 = \frac{7}{1}$. Таким образом, $7$ принадлежит множеству рациональных чисел ($7 \in Q$). Утверждение, что $7$ не принадлежит множеству рациональных чисел, неверно.
Ответ: Неверно.

4) $7 \in R$

Множество действительных чисел $R$ содержит все рациональные числа. Поскольку $7$ – рациональное число, оно также является и действительным. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

5) $-3,8 \notin N$

Натуральные числа – это положительные целые числа. Число $-3,8$ является отрицательным и дробным, поэтому оно не является натуральным. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

6) $-3,8 \in Q$

Число $-3,8$ является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной: $-3,8 = -\frac{38}{10} = -\frac{19}{5}$. Так как число представлено в виде дроби, где числитель – целое число, а знаменатель – натуральное, оно является рациональным. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

7) $-3,8 \notin R$

Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные числа. Так как $-3,8$ является рациональным числом, оно принадлежит и множеству действительных чисел ($-3,8 \in R$). Утверждение, что $-3,8$ не принадлежит множеству действительных чисел, неверно.
Ответ: Неверно.

8) $\sqrt{5} \in Q$

Число $\sqrt{5}$ является иррациональным. Это означает, что его нельзя представить в виде дроби $m/n$, где $m \in Z$ и $n \in N$. Его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью. Следовательно, $\sqrt{5}$ не принадлежит множеству рациональных чисел. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

9) $\sqrt{5} \notin R$

Множество действительных чисел $R$ состоит из объединения множеств рациональных и иррациональных чисел. Поскольку $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, оно входит в множество действительных чисел ($\sqrt{5} \in R$). Утверждение, что $\sqrt{5}$ не принадлежит множеству действительных чисел, неверно.
Ответ: Неверно.

10) $\sqrt{36} \notin Z$

Сначала вычислим значение корня: $\sqrt{36} = 6$. Утверждение можно переписать как $6 \notin Z$. Число 6 является натуральным, а значит, и целым числом ($6 \in Z$). Утверждение, что 6 не принадлежит множеству целых чисел, неверно.
Ответ: Неверно.

11) $\sqrt{36} \in N$

Вычислим значение: $\sqrt{36} = 6$. Утверждение превращается в $6 \in N$. Число 6 — это положительное целое число, используемое при счете, следовательно, оно является натуральным. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

12) $\sqrt{36} \notin Q?$

Вопрос заключается в том, верно ли утверждение "$\sqrt{36} \notin Q$". Вычислим корень: $\sqrt{36} = 6$. Теперь вопрос звучит так: "Верно ли, что $6 \notin Q$ ?". Как мы уже выяснили, любое целое число, включая 6, является рациональным ($6 = \frac{6}{1}$, то есть $6 \in Q$). Следовательно, утверждение, что 6 не принадлежит множеству рациональных чисел, неверно.
Ответ: Неверно.