Номер 82, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2 - номер 82, страница 44.

Условие.

82. Равны ли множества A и B, если:

1) $A = \{3, 5\}$, $B = \{5, 3\}$;

2) $A = \{(3; 5)\}$, $B = \{(5; 3)\}$;

3) A — множество корней уравнения $x^2 + 4 = 0$, B = $\{\emptyset\}$;

4) A — множество равносторонних треугольников, B — множество треугольников, каждый угол которых равен $60^\circ$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Порядок элементов в множестве не имеет значения.

1) $A = \{3, 5\}$, $B = \{5, 3\}$

Множество $A$ состоит из элементов 3 и 5. Множество $B$ состоит из элементов 5 и 3. Поскольку порядок элементов в множестве не важен, множества $A$ и $B$ состоят из одних и тех же элементов. Следовательно, они равны.

Ответ: Да, множества равны.

2) $A = \{(3; 5)\}$, $B = \{(5; 3)\}$

Здесь элементами множеств являются упорядоченные пары чисел. Множество $A$ содержит один элемент — упорядоченную пару $(3; 5)$. Множество $B$ также содержит один элемент — упорядоченную пару $(5; 3)$. В отличие от множеств, для упорядоченных пар порядок элементов важен. Упорядоченная пара $(a; b)$ равна паре $(c; d)$ тогда и только тогда, когда $a=c$ и $b=d$. В нашем случае $3 \neq 5$, поэтому $(3; 5) \neq (5; 3)$. Так как единственный элемент множества $A$ не равен единственному элементу множества $B$, множества не равны.

Ответ: Нет, множества не равны.

3) $A$ — множество корней уравнения $x^2 + 4 = 0$, $B = \{\emptyset\}$

Найдем множество $A$, решив уравнение $x^2 + 4 = 0$: $x^2 = -4$ В множестве действительных чисел это уравнение не имеет корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, множество $A$ является пустым множеством. Пустое множество обозначается как $\emptyset$ или \{\}. Таким образом, $A = \emptyset$. Множество $B$ определено как $B = \{\emptyset\}$. Это не пустое множество. Это множество, которое содержит один элемент, и этот элемент — пустое множество. Поскольку множество $A$ не содержит элементов (оно пустое), а множество $B$ содержит один элемент, эти множества не равны.

Ответ: Нет, множества не равны.

4) $A$ — множество равносторонних треугольников, $B$ — множество треугольников, каждый угол которых равен $60^\circ$

Рассмотрим определения множеств $A$ и $B$. Множество $A$ состоит из равносторонних треугольников. По определению, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Следствием этого является то, что все его углы также равны и составляют по $60^\circ$ (так как сумма углов треугольника $180^\circ$, а $180 / 3 = 60$). Значит, любой равносторонний треугольник принадлежит множеству $B$. Множество $B$ состоит из треугольников, у которых каждый угол равен $60^\circ$. В евклидовой геометрии, если у треугольника все углы равны, то и все стороны, лежащие против этих углов, тоже равны. Следовательно, любой треугольник, у которого все углы по $60^\circ$, является равносторонним. Значит, любой треугольник из множества $B$ принадлежит множеству $A$. Поскольку любой элемент множества $A$ является элементом множества $B$, и любой элемент множества $B$ является элементом множества $A$, эти два множества состоят из одних и тех же элементов. Следовательно, они равны.

Ответ: Да, множества равны.