Номер 77, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 77, страница 44.

Условие.

77. При каких значениях $a$ уравнение $(a-1)x^2 = 4$:

1) имеет корни;

2) не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данное уравнение $(a-1)x^2 = 4$ является уравнением с параметром $a$. Для его решения необходимо проанализировать, как наличие корней зависит от значения параметра $a$.

Для начала, выразим $x^2$ из уравнения. Это можно сделать, разделив обе части на коэффициент при $x^2$, то есть на $(a-1)$. Однако, деление возможно только в том случае, если делитель не равен нулю. Поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит, когда $a-1 = 0$, то есть $a = 1$.

Подставим $a=1$ в исходное уравнение:

$(1-1)x^2 = 4$

$0 \cdot x^2 = 4$

$0 = 4$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что при $a=1$ ни одно значение $x$ не может удовлетворить уравнению. Следовательно, при $a=1$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит, когда $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a-1)$:

$x^2 = \frac{4}{a-1}$

Теперь проанализируем полученное уравнение в зависимости от знака правой части.

1) имеет корни

Уравнение вида $x^2 = C$ имеет действительные корни тогда и только тогда, когда $C \ge 0$. В нашем случае $C = \frac{4}{a-1}$.

Значит, для существования корней должно выполняться неравенство:

$\frac{4}{a-1} \ge 0$

Поскольку числитель дроби (4) является положительным числом, вся дробь будет положительной только в том случае, если ее знаменатель также положителен. (Знаменатель не может быть равен нулю, так как мы рассматриваем случай $a \neq 1$).

$a-1 > 0$

Решая это неравенство, получаем:

$a > 1$

Таким образом, уравнение имеет корни при $a > 1$.

Ответ: $a \in (1, +\infty)$.

2) не имеет корней

Уравнение не будет иметь корней в двух ситуациях:

а) Как мы уже установили в Случае 1, при $a=1$ уравнение корней не имеет.

б) В Случае 2, когда $a \neq 1$, уравнение $x^2 = \frac{4}{a-1}$ не имеет действительных корней, если его правая часть отрицательна, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

$\frac{4}{a-1} < 0$

Поскольку числитель дроби (4) положителен, вся дробь будет отрицательной только в том случае, если ее знаменатель отрицателен.

$a-1 < 0$

Решая это неравенство, получаем:

$a < 1$

Объединяя оба случая (а и б), мы приходим к выводу, что уравнение не имеет корней при $a \le 1$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1]$.