Номер 75, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 75, страница 44.

Условие.

75. Решите уравнение:

1) $x^2 = 9;$

2) $x^2 = 13;$

3) $(x + 1)^2 = 0;$

4) $x^2 = -64;$

5) $(x - 2)^2 = 64;$

6) $(x + 5)^2 = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано уравнение $x^2 = 9$. Для его решения необходимо найти все значения $x$, квадрат которых равен 9. Для этого извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{9}$
Поскольку $\sqrt{9} = 3$, получаем два корня:
$x_1 = 3$
$x_2 = -3$
Ответ: $3; -3$.

2) Дано уравнение $x^2 = 13$. Аналогично предыдущему пункту, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{13}$
Число 13 не является полным квадратом, поэтому его корень является иррациональным числом. Таким образом, у уравнения два корня:
$x_1 = \sqrt{13}$
$x_2 = -\sqrt{13}$
Ответ: $\sqrt{13}; -\sqrt{13}$.

3) Дано уравнение $(x + 1)^2 = 0$. Если квадрат некоторого выражения равен нулю, то и само это выражение должно быть равно нулю.
$x + 1 = 0$
Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = -1$
Уравнение имеет один корень (кратности 2).
Ответ: $-1$.

4) Дано уравнение $x^2 = -64$. Квадрат любого действительного числа $x$ всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. В правой части уравнения стоит отрицательное число (-64). Следовательно, не существует такого действительного числа $x$, квадрат которого был бы равен -64. Таким образом, уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет корней.

5) Дано уравнение $(x - 2)^2 = 64$. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x - 2 = \pm\sqrt{64}$
$x - 2 = \pm8$
Это уравнение равносильно двум линейным уравнениям:
1) $x - 2 = 8$
$x = 8 + 2$
$x_1 = 10$
2) $x - 2 = -8$
$x = -8 + 2$
$x_2 = -6$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $10; -6$.

6) Дано уравнение $(x + 5)^2 = 2$. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x + 5 = \pm\sqrt{2}$
Перенесем 5 в правую часть, чтобы выразить $x$:
$x = -5 \pm\sqrt{2}$
Получаем два иррациональных корня:
$x_1 = -5 + \sqrt{2}$
$x_2 = -5 - \sqrt{2}$
Ответ: $-5 + \sqrt{2}; -5 - \sqrt{2}$.