Номер 76, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 = a - 2$:

1) имеет два корня;

2) имеет один корень;

3) не имеет корней?

Рассмотрим уравнение $x^2 = a - 2$. Это неполное квадратное уравнение, количество действительных корней которого определяется знаком выражения в правой части, то есть знаком $a-2$. Левая часть уравнения, $x^2$, представляет собой квадрат числа и всегда неотрицательна ($x^2 \ge 0$) для любого действительного $x$.

1) имеет два корня;

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его правая часть строго больше нуля. Это позволяет извлечь квадратный корень и получить два противоположных по знаку значения для $x$.

Составим и решим неравенство: $a - 2 > 0$

Перенеся 2 в правую часть, получаем: $a > 2$

При выполнении этого условия корнями уравнения будут $x_1 = \sqrt{a-2}$ и $x_2 = -\sqrt{a-2}$.

Ответ: при $a > 2$.

2) имеет один корень;

Уравнение имеет ровно один корень, если его правая часть равна нулю. В этом случае уравнение принимает вид $x^2 = 0$.

Составим и решим уравнение: $a - 2 = 0$

Перенеся 2 в правую часть, получаем: $a = 2$

При $a=2$ уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Ответ: при $a = 2$.

3) не имеет корней?

Уравнение не имеет действительных корней, если его правая часть отрицательна, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Составим и решим неравенство: $a - 2 < 0$

Перенеся 2 в правую часть, получаем: $a < 2$

При этих значениях $a$ правая часть уравнения отрицательна, и оно не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: при $a < 2$.