Номер 78, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = a-1;$

2) $(a-1)\sqrt{x} = 0;$

3) $\sqrt{a(x-1)} = 0;$

4) $(a-1)\sqrt{x} = a-1.$

1)

Дано уравнение $\sqrt{x} = a-1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием подкоренного выражения: $x \ge 0$.

Поскольку значение арифметического квадратного корня ($\sqrt{x}$) всегда неотрицательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это накладывает условие на параметр $a$:

$a - 1 \ge 0$, откуда следует $a \ge 1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a < 1$, то правая часть $a-1$ будет отрицательной. Уравнение принимает вид (неотрицательное число) = (отрицательное число), что невозможно. Следовательно, при $a < 1$ решений нет.
2. Если $a \ge 1$, то обе части уравнения неотрицательны, и можно возвести их в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x})^2 = (a-1)^2$

$x = (a-1)^2$

Найденное значение $x = (a-1)^2$ всегда неотрицательно, поэтому оно удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$) при любом $a$.

Ответ: если $a < 1$, то корней нет; если $a \ge 1$, то $x = (a-1)^2$.

2)

Дано уравнение $(a-1)\sqrt{x} = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$a-1=0$ или $\sqrt{x}=0$.

Рассмотрим два случая для параметра $a$:

1. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.
   Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt{x} = 0$, или $0=0$. Это равенство верно для любого значения $x$ из ОДЗ. Таким образом, при $a=1$ решением является любое неотрицательное число.
2. Если $a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
   В этом случае уравнение эквивалентно тому, что второй множитель равен нулю: $\sqrt{x}=0$. Возведя в квадрат, получаем $x=0$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: если $a = 1$, то $x \ge 0$; если $a \neq 1$, то $x = 0$.

3)

Дано уравнение $\sqrt{a(x-1)} = 0$.

Уравнение вида $\sqrt{f(x,a)} = 0$ равносильно тому, что подкоренное выражение равно нулю: $a(x-1) = 0$. ОДЗ ($a(x-1) \ge 0$) при этом выполняется автоматически.

Рассмотрим уравнение $a(x-1)=0$.

Возможны два случая для параметра $a$:

1. Если $a = 0$.
   Уравнение принимает вид $0 \cdot (x-1) = 0$, или $0 = 0$. Это тождество, верное для любого действительного значения $x$.
2. Если $a \neq 0$.
   Можно разделить обе части уравнения на $a$ (поскольку $a \neq 0$):
   $x-1 = 0$
   $x = 1$

Ответ: если $a = 0$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a \neq 0$, то $x = 1$.

4)

Дано уравнение $(a-1)\sqrt{x} = a-1$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Проанализируем уравнение в зависимости от значения выражения $(a-1)$:

1. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.
   Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt{x} = 0$, или $0=0$. Это равенство верно для любого $x$ из ОДЗ. Следовательно, при $a=1$ решением является любое неотрицательное число.
2. Если $a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
   В этом случае можно разделить обе части уравнения на ненулевое выражение $(a-1)$:
   $\sqrt{x} = \frac{a-1}{a-1}$
   $\sqrt{x} = 1$
   Возводим обе части в квадрат:
   $x = 1^2$
   $x = 1$
   Это значение удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).

Ответ: если $a = 1$, то $x \ge 0$; если $a \neq 1$, то $x = 1$.