Номер 74, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 74, страница 43.

Условие.

74. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = 7;$

2) $\sqrt{x} = \frac{4}{5};$

3) $\sqrt{x} - 5 = 0;$

4) $3\sqrt{x} - 8 = 0;$

5) $\frac{1}{2}\sqrt{x} + 3 = 0;$

6) $\sqrt{5x - 6} = 0;$

7) $\sqrt{5x - 6} = 0;$

8) $\sqrt{5x - 6} = 1;$

9) $\frac{24}{\sqrt{x}} = 12;$

10) $\frac{12}{\sqrt{x - 3}} = 4;$

11) $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2;$

12) $(x + 2)\sqrt{x^2 - 9} = 0.$

Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sqrt{x} = 7$

Для решения этого уравнения необходимо избавиться от знака корня. Для этого возводим обе части уравнения в квадрат. При этом нужно учитывать, что $x$ должен быть неотрицательным числом, что выполняется, так как $\sqrt{x}$ равен положительному числу 7.

$(\sqrt{x})^2 = 7^2$

$x = 49$

Проверка: $\sqrt{49} = 7$, что является верным равенством.

Ответ: $x = 49$.

2) $\sqrt{x} = \frac{4}{5}$

Аналогично предыдущему пункту, возводим обе части уравнения в квадрат. ОДЗ: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{4}{5})^2$

$x = \frac{16}{25}$

Проверка: $\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$. Верно.

Ответ: $x = \frac{16}{25}$.

3) $\sqrt{x} - 5 = 0$

Сначала изолируем корень, перенеся 5 в правую часть уравнения.

$\sqrt{x} = 5$

Теперь возводим обе части в квадрат. ОДЗ: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = 5^2$

$x = 25$

Проверка: $\sqrt{25} - 5 = 5 - 5 = 0$. Верно.

Ответ: $x = 25$.

4) $3\sqrt{x} - 8 = 0$

Изолируем слагаемое с корнем, а затем и сам корень.

$3\sqrt{x} = 8$

$\sqrt{x} = \frac{8}{3}$

Возводим обе части в квадрат. ОДЗ: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{8}{3})^2$

$x = \frac{64}{9}$

Ответ: $x = \frac{64}{9}$.

5) $\frac{1}{2}\sqrt{x} + 3 = 0$

Изолируем корень.

$\frac{1}{2}\sqrt{x} = -3$

$\sqrt{x} = -6$

Арифметический квадратный корень по определению является неотрицательной величиной, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Уравнение $\sqrt{x} = -6$ не может иметь решений в действительных числах.

Ответ: нет корней.

6) $\sqrt{5x} - 6 = 0$

Изолируем корень. ОДЗ: $5x \ge 0 \implies x \ge 0$.

$\sqrt{5x} = 6$

Возводим обе части в квадрат.

$(\sqrt{5x})^2 = 6^2$

$5x = 36$

$x = \frac{36}{5}$

Полученный корень $x=7.2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{36}{5}$.

7) $\sqrt{5x - 6} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $5x - 6 \ge 0 \implies 5x \ge 6 \implies x \ge \frac{6}{5}$.

Корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю.

$5x - 6 = 0$

$5x = 6$

$x = \frac{6}{5}$

Корень $x = \frac{6}{5}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{6}{5}$.

8) $\sqrt{5x - 6} = 1$

ОДЗ: $5x - 6 \ge 0 \implies x \ge \frac{6}{5}$.

Возводим обе части уравнения в квадрат.

$(\sqrt{5x - 6})^2 = 1^2$

$5x - 6 = 1$

$5x = 7$

$x = \frac{7}{5}$

Корень $x = \frac{7}{5}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{7}{5} > \frac{6}{5}$.

Ответ: $x = \frac{7}{5}$.

9) $\frac{24}{\sqrt{x}} = 12$

ОДЗ: $x > 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен быть равен нулю).

Выразим $\sqrt{x}$ из пропорции:

$\sqrt{x} = \frac{24}{12}$

$\sqrt{x} = 2$

Возводим в квадрат:

$x = 4$

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 4$.

10) $\frac{12}{\sqrt{x} - 3} = 4$

ОДЗ: $x \ge 0$ и $\sqrt{x} - 3 \ne 0 \implies \sqrt{x} \ne 3 \implies x \ne 9$.

Выразим знаменатель из пропорции:

$\sqrt{x} - 3 = \frac{12}{4}$

$\sqrt{x} - 3 = 3$

$\sqrt{x} = 6$

Возводим в квадрат:

$x = 36$

Корень $x=36$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 36$.

11) $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2$

ОДЗ: $x \ge 0$. Будем последовательно возводить обе части в квадрат, двигаясь от внешнего корня к внутреннему.

Первое возведение в квадрат:

$2 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 2^2 = 4$

$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4 - 2 = 2$

Второе возведение в квадрат:

$2 + \sqrt{x} = 2^2 = 4$

$\sqrt{x} = 4 - 2 = 2$

Третье возведение в квадрат:

$x = 2^2 = 4$

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 4$.

12) $(x + 2)\sqrt{x^2 - 9} = 0$

ОДЗ: $x^2 - 9 \ge 0 \implies x^2 \ge 9 \implies |x| \ge 3$. Таким образом, $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом определены.

1) $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $-3 < -2 < 3$. Следовательно, $x=-2$ является посторонним корнем.

2) $\sqrt{x^2 - 9} = 0 \implies x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Оба корня, $x=3$ и $x=-3$, принадлежат ОДЗ.

Ответ: $x = -3, x = 3$.