Номер 68, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 68, страница 43.

Условие.

68. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 4x - 3$;

2) $x^2 - 2x + 4 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 = 4x - 3$

Для графического решения этого уравнения представим его в виде равенства двух функций. Пусть левая часть уравнения будет функцией $y = x^2$, а правая — функцией $y = 4x - 3$. Решениями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков этих двух функций.

1. Построим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Построим её по точкам:

• при $x = -2, y = (-2)^2 = 4$
• при $x = -1, y = (-1)^2 = 1$
• при $x = 0, y = 0^2 = 0$
• при $x = 1, y = 1^2 = 1$
• при $x = 2, y = 2^2 = 4$
• при $x = 3, y = 3^2 = 9$

2. Построим график функции $y = 4x - 3$. Это прямая. Для её построения достаточно двух точек:

• при $x = 0, y = 4(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• при $x = 2, y = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5$. Точка $(2, 5)$.

3. Начертим оба графика в одной системе координат. Мы увидим, что парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Чтобы найти координаты этих точек, посмотрим на значения $x$, при которых значения $y$ для обеих функций совпадают. Из наших расчетов для параболы мы уже видим, что:

• при $x=1$ для параболы $y=1$. Проверим для прямой: $y = 4(1) - 3 = 1$. Первая точка пересечения — $(1, 1)$.
• при $x=3$ для параболы $y=9$. Проверим для прямой: $y = 4(3) - 3 = 12 - 3 = 9$. Вторая точка пересечения — $(3, 9)$.

Абсциссы точек пересечения графиков — $x = 1$ и $x = 3$. Это и есть корни уравнения.

Ответ: $1; 3$.

2) $x^2 - 2x + 4 = 0$

Для графического решения этого уравнения рассмотрим функцию $y = x^2 - 2x + 4$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения графика этой функции с осью абсцисс (осью $Ox$), то есть с прямой $y = 0$.

1. Графиком функции $y = x^2 - 2x + 4$ является парабола. Определим её ключевые параметры.

• Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1$), что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
  Абсцисса вершины: $x_0 = - \frac{b}{2a} = - \frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.
  Ордината вершины: $y_0 = (1)^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$.
  Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.

2. Построим эскиз графика. Мы знаем, что вершина параболы — это её самая нижняя точка (так как ветви направлены вверх). Координаты вершины — $(1, 3)$.

Поскольку самая нижняя точка параболы имеет ординату $y=3$, что больше нуля, вся парабола целиком расположена выше оси $Ox$. Это означает, что график функции $y = x^2 - 2x + 4$ не имеет точек пересечения с осью $Ox$.

Так как точек пересечения с прямой $y = 0$ нет, то уравнение $x^2 - 2x + 4 = 0$ не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.