Номер 65, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 65, страница 42.

Условие.

65. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x \leq -2 \\ x + 5, & \text{если } x > -2 \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 3, & \text{если } x \leq 1 \\ \frac{3}{x}, & \text{если } 1 < x < 3 \\ x - 2, & \text{если } x \geq 3 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из двух частей: ветви гиперболы для $x \le -2$ и луча для $x > -2$.

Шаг 1: Построение графика функции $y = -\frac{6}{x}$ на промежутке $x \le -2$.
Это график обратной пропорциональности. Ветви гиперболы $y = -\frac{6}{x}$ расположены во II и IV координатных четвертях. Нас интересует часть графика, где $x \le -2$, то есть часть ветви во II четверти. Найдем координаты нескольких точек для этой части графика:

• При $x = -2$, $y = -\frac{6}{-2} = 3$. Точка $(-2, 3)$ принадлежит графику (она будет закрашенной, так как неравенство нестрогое).
• При $x = -3$, $y = -\frac{6}{-3} = 2$. Точка $(-3, 2)$.
• При $x = -6$, $y = -\frac{6}{-6} = 1$. Точка $(-6, 1)$.

При $x \to -\infty$, $y \to 0$. Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для этой части графика.

Шаг 2: Построение графика функции $y = x + 5$ на промежутке $x > -2$.
Это линейная функция, её график — прямая линия. Мы строим часть этой прямой (луч), где $x > -2$. Найдем координаты двух точек:

• Найдем значение на границе промежутка: при $x = -2$, $y = -2 + 5 = 3$. Точка $(-2, 3)$ является началом луча. Так как неравенство строгое ($x > -2$), эта точка будет выколотой (незакрашенной).
• Возьмем еще одну точку, например, $x = 0$: $y = 0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.

Проведем луч через точки $(-2, 3)$ и $(0, 5)$.

Шаг 3: Объединение графиков.
На первом шаге мы получили, что график функции $y = -\frac{6}{x}$ заканчивается в точке $(-2, 3)$, и эта точка включена. На втором шаге мы получили, что график функции $y = x + 5$ начинается в точке $(-2, 3)$, но эта точка исключена. Так как "закрашенная" точка от первой части совпадает с "выколотой" точкой от второй части, то в точке $x = -2$ разрыва нет, и график является непрерывной линией.

Ответ: График функции состоит из двух частей, соединенных в точке $(-2, 3)$. Для $x \le -2$ это часть ветви гиперболы $y = -\frac{6}{x}$, расположенная во второй координатной четверти и проходящая через точки $(-2, 3)$, $(-3, 2)$, $(-6, 1)$. Для $x > -2$ это луч, являющийся частью прямой $y = x+5$, который начинается в точке $(-2, 3)$ и проходит, например, через точку $(0, 5)$.

2)

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из трех частей, определенных на разных промежутках.

Шаг 1: Построение графика функции $y = 3$ на промежутке $x \le 1$.
Это постоянная функция, ее график — горизонтальная прямая. Нам нужна часть этой прямой (луч), где $x \le 1$. Этот луч проходит на высоте $y=3$ и заканчивается в точке $(1, 3)$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 1$), точка $(1, 3)$ принадлежит графику (закрашенная).

Шаг 2: Построение графика функции $y = \frac{3}{x}$ на промежутке $1 < x < 3$.
Это график обратной пропорциональности (гипербола). Нас интересует часть графика на интервале от $x=1$ до $x=3$. Найдем значения на границах интервала:

• При $x \to 1^+$, $y \to \frac{3}{1} = 3$. Точка $(1, 3)$ не принадлежит этому участку графика (выколотая).
• При $x \to 3^-$, $y \to \frac{3}{3} = 1$. Точка $(3, 1)$ также не принадлежит этому участку графика (выколотая).

Возьмем промежуточную точку, например, $x=2$: $y = \frac{3}{2} = 1.5$. Точка $(2, 1.5)$. График на этом участке — это дуга гиперболы, соединяющая выколотые точки $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = x - 2$ на промежутке $x \ge 3$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Нам нужна часть этой прямой (луч), где $x \ge 3$. Найдем координаты двух точек:

• Начало луча при $x = 3$: $y = 3 - 2 = 1$. Точка $(3, 1)$ принадлежит графику (закрашенная), так как неравенство нестрогое.
• Возьмем еще одну точку, например, $x=5$: $y = 5 - 2 = 3$. Точка $(5, 3)$.

Проведем луч, начинающийся в точке $(3, 1)$ и проходящий через точку $(5, 3)$.

Шаг 4: Объединение графиков.
- В точке $x=1$: первая часть графика (луч $y=3$) заканчивается в закрашенной точке $(1, 3)$. Вторая часть (дуга гиперболы) начинается в выколотой точке $(1, 3)$. Следовательно, в точке $x=1$ график непрерывен.
- В точке $x=3$: вторая часть (дуга гиперболы) заканчивается в выколотой точке $(3, 1)$. Третья часть (луч $y=x-2$) начинается в закрашенной точке $(3, 1)$. Следовательно, в точке $x=3$ график также непрерывен.

Ответ: График функции является непрерывной линией, состоящей из трех частей. Для $x \le 1$ это горизонтальный луч $y=3$, заканчивающийся в точке $(1, 3)$. Для $1 < x < 3$ это дуга гиперболы $y=\frac{3}{x}$, соединяющая точки $(1, 3)$ и $(3, 1)$. Для $x \ge 3$ это луч $y=x-2$, выходящий из точки $(3, 1)$ и проходящий, например, через точку $(5, 3)$.