Номер 66, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Постройте график функции:

1) $y = \frac{5x - 5}{x^2 - x}$;

2) $y = \frac{54 - 6x^2}{x^3 - 9x}$.

1) $y = \frac{5x - 5}{x^2 - x}$

Для построения графика функции сначала найдем ее область определения и упростим выражение.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^2 - x \neq 0$
$x(x - 1) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упрощение функции.
Разложим числитель и знаменатель на множители: $y = \frac{5(x - 1)}{x(x - 1)}$
Поскольку $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x-1)$: $y = \frac{5}{x}$

3. Анализ и построение графика.
Графиком функции $y = \frac{5}{x}$ является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: $x=0$ (вертикальная асимптота) и $y=0$ (горизонтальная асимптота).
Однако из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 1$. Найдем значение $y$ при $x=1$ для упрощенной функции, чтобы определить координаты "выколотой" точки на графике.
При $x=1$, $y = \frac{5}{1} = 5$.
Следовательно, точка $(1; 5)$ должна быть исключена из графика. Эта точка называется выколотой.
Таким образом, искомый график — это гипербола $y = \frac{5}{x}$ с выколотой точкой $(1; 5)$.

Ответ: График функции представляет собой гиперболу $y = \frac{5}{x}$ с выколотой точкой в $(1; 5)$.

2) $y = \frac{54 - 6x^2}{x^3 - 9x}$

Аналогично первому пункту, найдем область определения и упростим функцию.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель не должен равняться нулю: $x^3 - 9x \neq 0$
$x(x^2 - 9) \neq 0$
$x(x - 3)(x + 3) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упрощение функции.
Разложим на множители числитель и знаменатель: $y = \frac{54 - 6x^2}{x^3 - 9x} = \frac{6(9 - x^2)}{x(x^2 - 9)} = \frac{-6(x^2 - 9)}{x(x^2 - 9)}$
Поскольку $x \neq 3$ и $x \neq -3$, то $x^2 - 9 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(x^2 - 9)$: $y = -\frac{6}{x}$

3. Анализ и построение графика.
Графиком функции $y = -\frac{6}{x}$ является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат: $x=0$ и $y=0$.
Из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Найдем координаты выколотых точек.
При $x = 3$, $y = -\frac{6}{3} = -2$. Значит, точка $(3; -2)$ выколота.
При $x = -3$, $y = -\frac{6}{-3} = 2$. Значит, точка $(-3; 2)$ выколота.
Итак, искомый график — это гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с двумя выколотыми точками: $(3; -2)$ и $(-3; 2)$.

Ответ: График функции представляет собой гиперболу $y = -\frac{6}{x}$ с выколотыми точками в $(3; -2)$ и $(-3; 2)$.