Номер 63, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2 - номер 63, страница 42.

Условие.

63. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = x + 7$ и определите координаты точек их пересечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо построить графики двух функций и найти их общие точки. Решение можно выполнить как графически, так и аналитически. Для точности найдем координаты точек пересечения аналитически, а затем используем построение для наглядной иллюстрации.

Построение графиков функций

1. График функции $y = \frac{8}{x}$

Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Так как коэффициент $k=8$ положителен, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $x=0$ и $y=0$.

Составим таблицу значений для построения нескольких точек:

$x$	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
$y$	-1	-2	-4	-8	8	4	2	1

2. График функции $y = x + 7$

Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.

• При $x=0$, $y = 0 + 7 = 7$. Точка $(0, 7)$.
• При $y=0$, $x+7=0$, следовательно $x=-7$. Точка $(-7, 0)$.

Построив гиперболу и прямую в одной системе координат, мы можем визуально оценить их точки пересечения.

Определение координат точек их пересечения

Чтобы найти точные координаты точек пересечения, нужно решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{8}{x} \\ y = x + 7 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y=y$):

$\frac{8}{x} = x + 7$

Данное уравнение имеет смысл при $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$:

$8 = x(x+7)$

$8 = x^2 + 7x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 7x - 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -8$. Подбираем корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -8$

Оба корня удовлетворяют условию $x \neq 0$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в уравнение прямой $y = x + 7$:

1. При $x_1 = 1$:

$y_1 = 1 + 7 = 8$

Первая точка пересечения: $(1, 8)$.

2. При $x_2 = -8$:

$y_2 = -8 + 7 = -1$

Вторая точка пересечения: $(-8, -1)$.

Ответ: Координаты точек пересечения графиков: $(1, 8)$ и $(-8, -1)$.