Номер 57, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 57, страница 41.

Условие.

57. Упростите выражение:

1) $(x^{-4} + 5)(x^{-4} - 5) - (x^{-4} + 6)^2;$

2) $\frac{x^{-3} - y^{-3}}{x^{-2} + x^{-1}y^{-1} + y^{-2}};$

3) $\frac{a^{-2} + b^{-2}}{2a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1}} + \frac{b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}};$

4) $\frac{m^{-3} - n^{-3}}{m^{-4}} : \frac{m^{-3}n^{-3} - m^{-6}}{m^{-5}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения $(x^{-4} + 5)(x^{-4} - 5) - (x^{-4} + 6)^2$ применим формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Первая часть выражения $(x^{-4} + 5)(x^{-4} - 5)$ является разностью квадратов, где $a = x^{-4}$ и $b = 5$:
$(x^{-4})^2 - 5^2 = x^{-4 \cdot 2} - 25 = x^{-8} - 25$.

Вторая часть выражения $(x^{-4} + 6)^2$ является квадратом суммы, где $a = x^{-4}$ и $b = 6$:
$(x^{-4})^2 + 2 \cdot x^{-4} \cdot 6 + 6^2 = x^{-8} + 12x^{-4} + 36$.

Теперь вычтем второе из первого:
$(x^{-8} - 25) - (x^{-8} + 12x^{-4} + 36) = x^{-8} - 25 - x^{-8} - 12x^{-4} - 36$.

Приведем подобные слагаемые:
$(x^{-8} - x^{-8}) - 12x^{-4} + (-25 - 36) = -12x^{-4} - 61$.

Ответ: $-12x^{-4} - 61$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{x^{-3} - y^{-3}}{x^{-2} + x^{-1}y^{-1} + y^{-2}}$.

Числитель $x^{-3} - y^{-3}$ можно разложить по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Пусть $a = x^{-1}$ и $b = y^{-1}$. Тогда $a^3 = (x^{-1})^3 = x^{-3}$ и $b^3 = (y^{-1})^3 = y^{-3}$.
Применяя формулу, получаем:
$x^{-3} - y^{-3} = (x^{-1} - y^{-1})((x^{-1})^2 + x^{-1}y^{-1} + (y^{-1})^2) = (x^{-1} - y^{-1})(x^{-2} + x^{-1}y^{-1} + y^{-2})$.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(x^{-1} - y^{-1})(x^{-2} + x^{-1}y^{-1} + y^{-2})}{x^{-2} + x^{-1}y^{-1} + y^{-2}}$.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе $(x^{-2} + x^{-1}y^{-1} + y^{-2})$:
$x^{-1} - y^{-1}$.

Ответ: $x^{-1} - y^{-1}$.

3) Упростим выражение $\frac{a^{-2} + b^{-2}}{2a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1}} + \frac{b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}}$.

Для удобства преобразуем степени с отрицательным показателем в дроби, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{a^{-2} + b^{-2}}{2a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}{\frac{2}{a^2} + \frac{2}{ab}}$.
Приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель дроби:
$\frac{\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}}{\frac{2b+2a}{a^2b}} = \frac{a^2+b^2}{a^2b^2} \cdot \frac{a^2b}{2(a+b)} = \frac{(a^2+b^2)a^2b}{a^2b^2 \cdot 2(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{2b(a+b)}$.

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} = \frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$.
Приведем к общему знаменателю в знаменателе дроби:
$\frac{\frac{1}{b}}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{1}{b} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{b(a+b)} = \frac{a}{a+b}$.

Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{a^2+b^2}{2b(a+b)} + \frac{a}{a+b}$.
Общий знаменатель $2b(a+b)$. Домножим вторую дробь на $2b$:
$\frac{a^2+b^2}{2b(a+b)} + \frac{a \cdot 2b}{2b(a+b)} = \frac{a^2+b^2+2ab}{2b(a+b)}$.

В числителе получили формулу квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$:
$\frac{(a+b)^2}{2b(a+b)}$.

Сократим дробь на $(a+b)$:
$\frac{a+b}{2b}$.

Ответ: $\frac{a+b}{2b}$.

4) Упростим выражение $\frac{m^{-3} - n^{-3}}{m^{-4}} : \frac{m^{-3}n^{-3} - m^{-6}}{m^{-5}}$.

Выполним деление дробей, заменив его на умножение на обратную дробь:
$\frac{m^{-3} - n^{-3}}{m^{-4}} \cdot \frac{m^{-5}}{m^{-3}n^{-3} - m^{-6}}$.

В знаменателе второй дроби вынесем за скобки общий множитель $m^{-3}$:
$m^{-3}n^{-3} - m^{-6} = m^{-3}(n^{-3} - m^{-3})$.

Подставим это в выражение:
$\frac{m^{-3} - n^{-3}}{m^{-4}} \cdot \frac{m^{-5}}{m^{-3}(n^{-3} - m^{-3})}$.

Заметим, что $m^{-3} - n^{-3} = -(n^{-3} - m^{-3})$. Сократим одинаковые множители, при этом останется множитель $-1$:
$\frac{-(n^{-3} - m^{-3})}{m^{-4}} \cdot \frac{m^{-5}}{m^{-3}(n^{-3} - m^{-3})} = \frac{-1}{m^{-4}} \cdot \frac{m^{-5}}{m^{-3}}$.

Теперь упростим выражение со степенями, используя правила $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ и $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$:
$-1 \cdot \frac{m^{-5}}{m^{-4} \cdot m^{-3}} = -1 \cdot \frac{m^{-5}}{m^{-4-3}} = -1 \cdot \frac{m^{-5}}{m^{-7}} = - (m^{-5 - (-7)}) = -(m^{-5+7}) = -m^2$.

Ответ: $-m^2$.