Номер 52, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2 - номер 52, страница 40.

Условие.

52. Найдите значение выражения:

1) $14^6 \cdot 14^{-8};$

2) $10^{-16} \cdot 10^{18};$

3) $6^{-10} : 6^{-13};$

4) $2^{-18} \cdot 2^{-12} : 2^{-32};$

5) $(11^{-8})^7 \cdot (11^{-4})^{-14};$

6) $\frac{5^{-6} \cdot (5^{-2})^5}{(5^{-3})^6 \cdot 5^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти значение выражения $14^6 \cdot 14^{-8}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$14^6 \cdot 14^{-8} = 14^{6 + (-8)} = 14^{6-8} = 14^{-2}$.
Далее, используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$14^{-2} = \frac{1}{14^2} = \frac{1}{196}$.
Ответ: $\frac{1}{196}$.

2) Для выражения $10^{-16} \cdot 10^{18}$ применим то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$10^{-16} \cdot 10^{18} = 10^{-16 + 18} = 10^2$.
$10^2 = 100$.
Ответ: 100.

3) Для выражения $6^{-10} : 6^{-13}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$6^{-10} : 6^{-13} = 6^{-10 - (-13)} = 6^{-10 + 13} = 6^3$.
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216.

4) В выражении $2^{-18} \cdot 2^{-12} : 2^{-32}$ последовательно применим свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием.
Сначала умножение: $2^{-18} \cdot 2^{-12} = 2^{-18 + (-12)} = 2^{-30}$.
Затем деление: $2^{-30} : 2^{-32} = 2^{-30 - (-32)} = 2^{-30 + 32} = 2^2$.
$2^2 = 4$.
Ответ: 4.

5) В выражении $(11^{-8})^7 \cdot (11^{-4})^{-14}$ сначала применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(11^{-8})^7 = 11^{-8 \cdot 7} = 11^{-56}$.
$(11^{-4})^{-14} = 11^{-4 \cdot (-14)} = 11^{56}$.
Теперь перемножим полученные результаты: $11^{-56} \cdot 11^{56} = 11^{-56 + 56} = 11^0$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
$11^0 = 1$.
Ответ: 1.

6) Для выражения $\frac{5^{-6} \cdot (5^{-2})^5}{(5^{-3})^6 \cdot 5^2}$ упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Упростим числитель: $5^{-6} \cdot (5^{-2})^5 = 5^{-6} \cdot 5^{-2 \cdot 5} = 5^{-6} \cdot 5^{-10} = 5^{-6 + (-10)} = 5^{-16}$.
Упростим знаменатель: $(5^{-3})^6 \cdot 5^2 = 5^{-3 \cdot 6} \cdot 5^2 = 5^{-18} \cdot 5^2 = 5^{-18 + 2} = 5^{-16}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{5^{-16}}{5^{-16}} = 5^{-16 - (-16)} = 5^{-16 + 16} = 5^0$.
$5^0 = 1$.
Ответ: 1.