Номер 45, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 45, страница 39.

Условие.

45. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:

1) $ \frac{3a^6b^{-8}c^{-5}}{4m^4n^{-15}p^{-30}} $;

2) $ \frac{7,8^0x^{-10}y^{-13}z^0}{7^{-2}a^6b^{-15}c^{-7}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для преобразования данного выражения необходимо избавиться от степеней с отрицательными показателями. Основное свойство, которое мы будем использовать, это $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Это означает, что любой множитель можно перенести из числителя в знаменатель (и наоборот), изменив знак его показателя степени на противоположный.

Исходное выражение: $\frac{3a^6b^{-8}c^{-5}}{4m^4n^{-15}p^{-30}}$

1. Определим множители с отрицательными степенями в числителе: это $b^{-8}$ и $c^{-5}$. Перенесем их в знаменатель, сделав их степени положительными: $b^8$ и $c^5$.

2. Определим множители с отрицательными степенями в знаменателе: это $n^{-15}$ и $p^{-30}$. Перенесем их в числитель, сделав их степени положительными: $n^{15}$ и $p^{30}$.

3. Множители, у которых степени положительные ($a^6$ и $m^4$), а также числовые коэффициенты (3 и 4), остаются на своих местах.

4. Соберем все части вместе. В числителе окажутся $3$, $a^6$, $n^{15}$ и $p^{30}$. В знаменателе окажутся $4$, $m^4$, $b^8$ и $c^5$.

Запишем итоговое выражение:

$\frac{3a^6n^{15}p^{30}}{4m^4b^8c^5}$

В полученном выражении все показатели степеней являются положительными числами.

Ответ: $\frac{3a^6n^{15}p^{30}}{4m^4b^8c^5}$

2)

В этом задании нужно избавиться от степеней как с отрицательными, так и с нулевыми показателями. Для этого используем два свойства степени: $x^0 = 1$ (для любого $x \neq 0$) и $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Исходное выражение: $\frac{7,8^0x^{-10}y^{-13}z^0}{7^{-2}a^6b^{-15}c^{-7}}$

1. Сначала упростим множители с нулевым показателем степени. В числителе это $7,8^0$ и $z^0$.

$7,8^0 = 1$

$z^0 = 1$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{1 \cdot x^{-10}y^{-13} \cdot 1}{7^{-2}a^6b^{-15}c^{-7}} = \frac{x^{-10}y^{-13}}{7^{-2}a^6b^{-15}c^{-7}}$

2. Теперь, как и в предыдущем примере, переместим множители с отрицательными степенями между числителем и знаменателем, меняя знак показателя на противоположный.

Из числителя в знаменатель переносим $x^{-10}$ и $y^{-13}$, которые станут $x^{10}$ и $y^{13}$.

Из знаменателя в числитель переносим $7^{-2}$, $b^{-15}$ и $c^{-7}$, которые станут $7^2$, $b^{15}$ и $c^7$.

Множитель $a^6$ остается в знаменателе, так как его степень положительна.

3. Соберем новое выражение:

$\frac{7^2b^{15}c^7}{a^6x^{10}y^{13}}$

4. Вычислим числовую часть: $7^2 = 49$.

Подставим это значение и получим окончательный вид выражения.

Ответ: $\frac{49b^{15}c^7}{a^6x^{10}y^{13}}$