Номер 41, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 41, страница 38.

Условие.

41. Решите уравнение:

1) $\frac{x-3}{x+1} = 0;$

2) $\frac{x^2 - 16}{x+4} = 0;$

3) $\frac{x+2}{x^2 - 4} = 0;$

4) $\frac{5}{x+7} - \frac{3}{x-7} = 0;$

5) $\frac{x+1}{x-4} = \frac{3x+1}{3x-1};$

6) $\frac{9x-7}{3x-2} - \frac{4x-5}{2x-3} = 1;$

7) $\frac{x^2+20}{x^2-4} = \frac{x-3}{x+2} - \frac{6}{2-x};$

8) $\frac{5}{x^2-7x} - \frac{x-5}{x^2+7x} - \frac{9}{x^2-49} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{x-3}{x+1} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+1 \ne 0$, следовательно, $x \ne -1$.

Приравняем числитель к нулю:
$x - 3 = 0$
$x = 3$

Значение $x=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 3$.

2) $\frac{x^2 - 16}{x+4} = 0$

ОДЗ: $x+4 \ne 0$, следовательно, $x \ne -4$.

Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 4$.

3) $\frac{x+2}{x^2 - 4} = 0$

ОДЗ: $x^2 - 4 \ne 0$, то есть $(x-2)(x+2) \ne 0$. Следовательно, $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Приравняем числитель к нулю:
$x + 2 = 0$
$x = -2$

Полученный корень $x = -2$ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: корней нет.

4) $\frac{5}{x+7} - \frac{3}{x-7} = 0$

ОДЗ: $x+7 \ne 0$ и $x-7 \ne 0$. Следовательно, $x \ne -7$ и $x \ne 7$.

Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения:
$\frac{5}{x+7} = \frac{3}{x-7}$

Воспользуемся свойством пропорции:
$5(x-7) = 3(x+7)$
$5x - 35 = 3x + 21$
$5x - 3x = 21 + 35$
$2x = 56$
$x = 28$

Значение $x=28$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 28$.

5) $\frac{x+1}{x-4} = \frac{3x+1}{3x-1}$

ОДЗ: $x-4 \ne 0$ и $3x-1 \ne 0$. Следовательно, $x \ne 4$ и $x \ne \frac{1}{3}$.

Воспользуемся свойством пропорции:
$(x+1)(3x-1) = (3x+1)(x-4)$
$3x^2 - x + 3x - 1 = 3x^2 - 12x + x - 4$
$3x^2 + 2x - 1 = 3x^2 - 11x - 4$
$2x + 11x = -4 + 1$
$13x = -3$
$x = -\frac{3}{13}$

Значение $x = -\frac{3}{13}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{3}{13}$.

6) $\frac{9x-7}{3x-2} - \frac{4x-5}{2x-3} = 1$

ОДЗ: $3x-2 \ne 0$ и $2x-3 \ne 0$. Следовательно, $x \ne \frac{2}{3}$ и $x \ne \frac{3}{2}$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(3x-2)(2x-3)$:
$\frac{(9x-7)(2x-3) - (4x-5)(3x-2)}{(3x-2)(2x-3)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель (при условии, что он не равен нулю):
$(9x-7)(2x-3) - (4x-5)(3x-2) = (3x-2)(2x-3)$
$(18x^2 - 27x - 14x + 21) - (12x^2 - 8x - 15x + 10) = 6x^2 - 9x - 4x + 6$
$18x^2 - 41x + 21 - 12x^2 + 23x - 10 = 6x^2 - 13x + 6$
$6x^2 - 18x + 11 = 6x^2 - 13x + 6$
$-18x + 13x = 6 - 11$
$-5x = -5$
$x = 1$

Значение $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 1$.

7) $\frac{x^2+20}{x^2-4} = \frac{x-3}{x+2} - \frac{6}{2-x}$

ОДЗ: $x^2-4 \ne 0$, $x+2 \ne 0$, $2-x \ne 0$. Следовательно, $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Преобразуем уравнение, учитывая что $2-x = -(x-2)$ и $x^2-4 = (x-2)(x+2)$:
$\frac{x^2+20}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-3}{x+2} + \frac{6}{x-2}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:
$\frac{x^2+20}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-3)(x-2) + 6(x+2)}{(x-2)(x+2)}$

Приравняем числители:
$x^2+20 = (x-3)(x-2) + 6(x+2)$
$x^2+20 = x^2 - 5x + 6 + 6x + 12$
$x^2+20 = x^2 + x + 18$
$20 = x + 18$
$x = 2$

Полученный корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: корней нет.

8) $\frac{5}{x^2-7x} - \frac{x-5}{x^2+7x} - \frac{9}{x^2-49} = 0$

Разложим знаменатели на множители: $x^2-7x = x(x-7)$, $x^2+7x = x(x+7)$, $x^2-49 = (x-7)(x+7)$.

ОДЗ: $x \ne 0$, $x \ne 7$, $x \ne -7$. Общий знаменатель $x(x-7)(x+7)$.

Приведем все дроби к общему знаменателю:
$\frac{5(x+7)}{x(x-7)(x+7)} - \frac{(x-5)(x-7)}{x(x-7)(x+7)} - \frac{9x}{x(x-7)(x+7)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:
$5(x+7) - (x-5)(x-7) - 9x = 0$
$5x + 35 - (x^2 - 7x - 5x + 35) - 9x = 0$
$5x + 35 - x^2 + 12x - 35 - 9x = 0$
$-x^2 + (5+12-9)x + (35-35) = 0$
$-x^2 + 8x = 0$
$x^2 - 8x = 0$
$x(x-8) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 8$

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 8$.