Номер 38, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 38, страница 38.

Условие.

38. Упростите выражение:

1) $\frac{1 - \frac{6}{x}}{\frac{12x - 36}{x} - x}$;

2) $\frac{\frac{y}{2 - y} + \frac{2 + y}{y}}{\frac{y}{2 + y} + \frac{2 - y}{y}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы упростить данное выражение, мы будем работать с числителем и знаменателем по отдельности.

Исходное выражение: $ \frac{1 - \frac{6}{x}}{\frac{12x - 36}{x} - x} $.

Сначала упростим числитель дроби: приведем к общему знаменателю $x$.

$ 1 - \frac{6}{x} = \frac{1 \cdot x}{x} - \frac{6}{x} = \frac{x-6}{x} $

Теперь упростим знаменатель дроби: также приведем к общему знаменателю $x$.

$ \frac{12x - 36}{x} - x = \frac{12x - 36}{x} - \frac{x \cdot x}{x} = \frac{12x - 36 - x^2}{x} $

Вынесем минус за скобки в числителе полученной дроби и заметим, что выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$ \frac{-(x^2 - 12x + 36)}{x} = \frac{-(x-6)^2}{x} $

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$ \frac{\frac{x-6}{x}}{\frac{-(x-6)^2}{x}} $

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{x-6}{x} \cdot \frac{x}{-(x-6)^2} $

Сократим общие множители $x$ и $(x-6)$:

$ \frac{\cancel{x-6}}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{-(x-6)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{-(x-6)} = -\frac{1}{x-6} = \frac{1}{6-x} $

Ответ: $ \frac{1}{6-x} $

2)

Упростим данное многоэтажное дробное выражение, начав с числителя и знаменателя основной дроби.

Исходное выражение: $ \frac{\frac{y}{2-y} + \frac{2+y}{y}}{\frac{y}{2+y} + \frac{2-y}{y}} $.

Упростим числитель основной дроби. Общий знаменатель для дробей $ \frac{y}{2-y} $ и $ \frac{2+y}{y} $ равен $ y(2-y) $.

$ \frac{y}{2-y} + \frac{2+y}{y} = \frac{y \cdot y}{y(2-y)} + \frac{(2+y)(2-y)}{y(2-y)} = \frac{y^2 + (2^2 - y^2)}{y(2-y)} = \frac{y^2 + 4 - y^2}{y(2-y)} = \frac{4}{y(2-y)} $

Далее упростим знаменатель основной дроби. Общий знаменатель для дробей $ \frac{y}{2+y} $ и $ \frac{2-y}{y} $ равен $ y(2+y) $.

$ \frac{y}{2+y} + \frac{2-y}{y} = \frac{y \cdot y}{y(2+y)} + \frac{(2-y)(2+y)}{y(2+y)} = \frac{y^2 + (2^2 - y^2)}{y(2+y)} = \frac{y^2 + 4 - y^2}{y(2+y)} = \frac{4}{y(2+y)} $

Теперь подставим упрощенные выражения обратно. Получаем деление двух дробей:

$ \frac{\frac{4}{y(2-y)}}{\frac{4}{y(2+y)}} $

Для деления умножим первую дробь на перевернутую вторую:

$ \frac{4}{y(2-y)} \cdot \frac{y(2+y)}{4} $

Сократим общие множители $4$ и $y$:

$ \frac{\cancel{4}}{\cancel{y}(2-y)} \cdot \frac{\cancel{y}(2+y)}{\cancel{4}} = \frac{2+y}{2-y} $

Ответ: $ \frac{2+y}{2-y} $