Номер 32, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 32, страница 37.

Условие.

32. Выполните деление:

1) $\frac{x^2 - 4x + 4}{20x^3} : \frac{x - 2}{5x}$;

2) $\frac{x - 3}{4x + 12} : \frac{2x - 6}{x^2 + 3x}$;

3) $\frac{a^2 + 10a + 25}{a^2 - 25} : (a + 5)$;

4) $\frac{x^2 - 9y^2}{16x^2 - 9y^2} : \frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{16x^2 - 24xy + 9y^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем разложим числитель и знаменатель на множители и сократим общие множители.

Исходное выражение: $ \frac{x^2 - 4x + 4}{20x^3} : \frac{x - 2}{5x} $

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{x^2 - 4x + 4}{20x^3} \cdot \frac{5x}{x - 2} $

Разложим числитель первой дроби по формуле квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $

Подставляем разложенное выражение в дробь и сокращаем:

$ \frac{(x - 2)^2}{20x^3} \cdot \frac{5x}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x - 2) \cdot 5x}{20x^3 \cdot (x - 2)} = \frac{(x - 2) \cdot 5x}{20x^3} = \frac{x - 2}{4x^2} $

Сократили на $ (x-2) $ и на $ 5x $. Ограничения: $ x \ne 0 $ и $ x \ne 2 $.

Ответ: $ \frac{x-2}{4x^2} $

2) Аналогично первому пункту, заменяем деление умножением на обратную дробь и раскладываем многочлены на множители.

Исходное выражение: $ \frac{x - 3}{4x + 12} : \frac{2x - 6}{x^2 + 3x} $

Заменяем деление умножением:

$ \frac{x - 3}{4x + 12} \cdot \frac{x^2 + 3x}{2x - 6} $

Вынесем общие множители за скобки в знаменателе первой дроби и в числителе и знаменателе второй дроби:

$ 4x + 12 = 4(x + 3) $

$ x^2 + 3x = x(x + 3) $

$ 2x - 6 = 2(x - 3) $

Подставляем и сокращаем:

$ \frac{x - 3}{4(x + 3)} \cdot \frac{x(x + 3)}{2(x - 3)} = \frac{(x - 3) \cdot x(x + 3)}{4(x + 3) \cdot 2(x - 3)} = \frac{x}{4 \cdot 2} = \frac{x}{8} $

Сократили на $ (x-3) $ и на $ (x+3) $. Ограничения: $ x \ne 0, x \ne 3, x \ne -3 $.

Ответ: $ \frac{x}{8} $

3) Представим делитель $ (a+5) $ в виде дроби $ \frac{a+5}{1} $ и выполним деление.

Исходное выражение: $ \frac{a^2 + 10a + 25}{a^2 - 25} : (a + 5) $

Заменяем деление умножением:

$ \frac{a^2 + 10a + 25}{a^2 - 25} \cdot \frac{1}{a + 5} $

Разложим числитель и знаменатель первой дроби, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $ и формулу разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ a^2 + 10a + 25 = (a + 5)^2 $

$ a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5) $

Подставляем и сокращаем:

$ \frac{(a + 5)^2}{(a - 5)(a + 5)} \cdot \frac{1}{a + 5} = \frac{(a + 5)(a + 5)}{(a - 5)(a + 5)(a + 5)} = \frac{1}{a - 5} $

Сократили дважды на $ (a+5) $. Ограничения: $ a \ne 5, a \ne -5 $.

Ответ: $ \frac{1}{a-5} $

4) Выполним деление, предварительно разложив все числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Исходное выражение: $ \frac{x^2 - 9y^2}{16x^2 - 9y^2} : \frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{16x^2 - 24xy + 9y^2} $

Заменяем деление умножением:

$ \frac{x^2 - 9y^2}{16x^2 - 9y^2} \cdot \frac{16x^2 - 24xy + 9y^2}{x^2 + 6xy + 9y^2} $

Раскладываем на множители:

• $ x^2 - 9y^2 = (x - 3y)(x + 3y) $ (разность квадратов)
• $ 16x^2 - 9y^2 = (4x - 3y)(4x + 3y) $ (разность квадратов)
• $ x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2 $ (квадрат суммы)
• $ 16x^2 - 24xy + 9y^2 = (4x - 3y)^2 $ (квадрат разности)

Подставляем разложенные выражения и сокращаем общие множители:

$ \frac{(x - 3y)(x + 3y)}{(4x - 3y)(4x + 3y)} \cdot \frac{(4x - 3y)^2}{(x + 3y)^2} = \frac{(x - 3y)(x + 3y)(4x - 3y)(4x - 3y)}{(4x - 3y)(4x + 3y)(x + 3y)(x + 3y)} $

Сокращаем $ (x+3y) $ и $ (4x-3y) $:

$ \frac{x - 3y}{4x + 3y} \cdot \frac{4x - 3y}{x + 3y} = \frac{(x - 3y)(4x - 3y)}{(4x + 3y)(x + 3y)} $

Ограничения: $ 4x \ne \pm 3y $, $ x \ne -3y $.

Ответ: $ \frac{(x - 3y)(4x - 3y)}{(x + 3y)(4x + 3y)} $