Номер 29, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 29, страница 36.

Условие.

29. Упростите выражение:

1) $\frac{2xy - y^2}{3} \cdot \frac{9x}{y^5};$

2) $\frac{a^2 - 2ab}{a^2 + 3ab} \cdot \frac{a^2b + 3ab^2}{a^3 - 2a^2b};$

3) $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 6x} \cdot \frac{x^2 - 36}{x^2 + 5x};$

4) $\frac{4a^2 - 24a + 36}{a^3 + 1} \cdot \frac{7a^2 - 7a + 7}{8a - 24}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения $\frac{2xy - y^2}{3} \cdot \frac{9x}{y^5}$ выполним следующие шаги:

Сначала разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $y$ за скобки:
$2xy - y^2 = y(2x - y)$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное и выполним умножение дробей:
$\frac{y(2x - y)}{3} \cdot \frac{9x}{y^5} = \frac{y(2x - y) \cdot 9x}{3 \cdot y^5}$

Далее сократим полученную дробь. Сокращаем $y$ в числителе и $y^5$ в знаменателе, в знаменателе остается $y^4$. Сокращаем 9 в числителе и 3 в знаменателе, в числителе остается 3.
$\frac{\cancel{y}(2x - y) \cdot \cancel{9}^3 x}{\cancel{3} \cdot y^{\cancel{5}4}} = \frac{3x(2x - y)}{y^4}$

Ответ: $\frac{3x(2x-y)}{y^4}$

2) Для упрощения выражения $\frac{a^2 - 2ab}{a^2 + 3ab} \cdot \frac{a^2b + 3ab^2}{a^3 - 2a^2b}$ выполним следующие шаги:

Разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби:
- $a^2 - 2ab = a(a - 2b)$
- $a^2 + 3ab = a(a + 3b)$
- $a^2b + 3ab^2 = ab(a + 3b)$
- $a^3 - 2a^2b = a^2(a - 2b)$

Подставим разложенные выражения и перемножим дроби:
$\frac{a(a - 2b)}{a(a + 3b)} \cdot \frac{ab(a + 3b)}{a^2(a - 2b)} = \frac{a(a - 2b) \cdot ab(a + 3b)}{a(a + 3b) \cdot a^2(a - 2b)}$

Сократим общие множители $(a-2b)$, $(a+3b)$ и $a$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{a}(\cancel{a - 2b}) \cdot ab(\cancel{a + 3b})}{\cancel{a}(\cancel{a + 3b}) \cdot a^2(\cancel{a - 2b})} = \frac{ab}{a^2}$

Упростим оставшееся выражение:
$\frac{ab}{a^2} = \frac{b}{a}$

Ответ: $\frac{b}{a}$

3) Для упрощения выражения $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 6x} \cdot \frac{x^2 - 36}{x^2 + 5x}$ выполним следующие шаги:

Разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби. Для числителей используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, а в знаменателях вынесем общий множитель $x$ за скобки:
- $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$
- $x^2 - 6x = x(x - 6)$
- $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$
- $x^2 + 5x = x(x + 5)$

Подставим разложенные выражения и перемножим дроби:
$\frac{(x - 5)(x + 5)}{x(x - 6)} \cdot \frac{(x - 6)(x + 6)}{x(x + 5)} = \frac{(x - 5)(x + 5)(x - 6)(x + 6)}{x(x - 6)x(x + 5)}$

Сократим общие множители $(x+5)$ и $(x-6)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(x - 5)(\cancel{x + 5})(\cancel{x - 6})(x + 6)}{x(\cancel{x - 6})x(\cancel{x + 5})} = \frac{(x - 5)(x + 6)}{x \cdot x}$

Запишем конечный результат:
$\frac{(x-5)(x+6)}{x^2}$

Ответ: $\frac{(x-5)(x+6)}{x^2}$

4) Для упрощения выражения $\frac{4a^2 - 24a + 36}{a^3 + 1} \cdot \frac{7a^2 - 7a + 7}{8a - 24}$ выполним следующие шаги:

Разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби, используя формулы сокращённого умножения: квадрат разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ и сумму кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
- $4a^2 - 24a + 36 = 4(a^2 - 6a + 9) = 4(a - 3)^2$
- $a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$
- $7a^2 - 7a + 7 = 7(a^2 - a + 1)$
- $8a - 24 = 8(a - 3)$

Подставим разложенные выражения и перемножим дроби:
$\frac{4(a - 3)^2}{(a + 1)(a^2 - a + 1)} \cdot \frac{7(a^2 - a + 1)}{8(a - 3)} = \frac{4(a - 3)^2 \cdot 7(a^2 - a + 1)}{(a + 1)(a^2 - a + 1) \cdot 8(a - 3)}$

Сократим общие множители $(a-3)$ и $(a^2 - a + 1)$, а также числовые коэффициенты 4 и 8:
$\frac{\cancel{4}(a - 3)^{\cancel{2}} \cdot 7(\cancel{a^2 - a + 1})}{(a + 1)(\cancel{a^2 - a + 1}) \cdot \cancel{8}_2(\cancel{a - 3})} = \frac{7(a - 3)}{2(a + 1)}$

Запишем конечный результат:
$\frac{7(a-3)}{2(a+1)}$

Ответ: $\frac{7(a-3)}{2(a+1)}$