Номер 24, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{3}{m} + \frac{5}{n}$;

2) $\frac{4}{x} - \frac{3}{xy}$;

3) $\frac{7}{9ab} - \frac{13}{12ab}$;

4) $\frac{6p}{5xy} + \frac{4k}{3xy^2} - \frac{3m}{4x^2y}$;

5) $\frac{2n-5m}{n} + \frac{6n^2+5m^2}{mn}$;

6) $\frac{6x^2-3x+2}{x^2y} - \frac{3x-2}{xy}$.

1) $\frac{3}{m} + \frac{5}{n}$

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае знаменатели — это $m$ и $n$. Наименьший общий знаменатель для них — это их произведение, то есть $mn$.
Найдем дополнительный множитель для каждой дроби. Для первой дроби ($\frac{3}{m}$) дополнительный множитель — $n$. Для второй дроби ($\frac{5}{n}$) — $m$.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{3 \cdot n}{m \cdot n} + \frac{5 \cdot m}{n \cdot m} = \frac{3n}{mn} + \frac{5m}{mn}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{3n + 5m}{mn}$

Ответ: $\frac{3n + 5m}{mn}$

2) $\frac{4}{x} - \frac{3}{xy}$

Знаменатели дробей — $x$ и $xy$. Наименьший общий знаменатель — $xy$, так как он делится без остатка и на $x$, и на $xy$.
Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель. Приведем к этому знаменателю первую дробь, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $y$:

$\frac{4 \cdot y}{x \cdot y} - \frac{3}{xy} = \frac{4y}{xy} - \frac{3}{xy}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{4y - 3}{xy}$

Ответ: $\frac{4y - 3}{xy}$

3) $\frac{7}{9ab} - \frac{13}{12ab}$

Знаменатели дробей — $9ab$ и $12ab$. Чтобы найти общий знаменатель, найдем наименьшее общее кратное (НОК) для числовых коэффициентов 9 и 12. НОК(9, 12) = 36.
Буквенная часть знаменателей одинакова ($ab$), поэтому общий знаменатель будет $36ab$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{36ab}{9ab} = 4$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{36ab}{12ab} = 3$.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{7 \cdot 4}{9ab \cdot 4} - \frac{13 \cdot 3}{12ab \cdot 3} = \frac{28}{36ab} - \frac{39}{36ab} = \frac{28 - 39}{36ab} = \frac{-11}{36ab}$

Ответ: $-\frac{11}{36ab}$

4) $\frac{6p}{5xy} + \frac{4k}{3xy^2} - \frac{3m}{4x^2y}$

Найдем общий знаменатель для дробей со знаменателями $5xy$, $3xy^2$ и $4x^2y$.
1. НОК для числовых коэффициентов 5, 3 и 4 равно $5 \cdot 3 \cdot 4 = 60$.
2. Для переменных берем каждую в наибольшей степени: $x^2$ и $y^2$.
Общий знаменатель: $60x^2y^2$.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $\frac{60x^2y^2}{5xy} = 12xy$.
Для второй дроби: $\frac{60x^2y^2}{3xy^2} = 20x$.
Для третьей дроби: $\frac{60x^2y^2}{4x^2y} = 15y$.
Перепишем выражение с общим знаменателем:

$\frac{6p \cdot 12xy}{60x^2y^2} + \frac{4k \cdot 20x}{60x^2y^2} - \frac{3m \cdot 15y}{60x^2y^2} = \frac{72pxy + 80kx - 45my}{60x^2y^2}$

Ответ: $\frac{72pxy + 80kx - 45my}{60x^2y^2}$

5) $\frac{2n - 5m}{n} + \frac{6n^2 + 5m^2}{mn}$

Общий знаменатель для $n$ и $mn$ — это $mn$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $m$. Вторая дробь уже приведена к общему знаменателю.
Умножим числитель первой дроби на $m$ и сложим с числителем второй дроби:

$\frac{(2n - 5m) \cdot m}{mn} + \frac{6n^2 + 5m^2}{mn} = \frac{2mn - 5m^2 + 6n^2 + 5m^2}{mn}$

Упростим числитель, сократив $-5m^2$ и $+5m^2$:

$\frac{2mn + 6n^2}{mn}$

Вынесем в числителе общий множитель $2n$ за скобки и сократим дробь:

$\frac{2n(m + 3n)}{mn} = \frac{2(m + 3n)}{m}$

Ответ: $\frac{2(m + 3n)}{m}$

6) $\frac{6x^2 - 3x + 2}{x^2y} - \frac{3x - 2}{xy}$

Общий знаменатель для $x^2y$ и $xy$ — это $x^2y$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $x$.
Приведем вторую дробь к общему знаменателю и выполним вычитание. Важно помнить, что минус перед дробью относится ко всему ее числителю.

$\frac{6x^2 - 3x + 2}{x^2y} - \frac{(3x - 2) \cdot x}{xy \cdot x} = \frac{6x^2 - 3x + 2}{x^2y} - \frac{3x^2 - 2x}{x^2y}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(6x^2 - 3x + 2) - (3x^2 - 2x)}{x^2y} = \frac{6x^2 - 3x + 2 - 3x^2 + 2x}{x^2y}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(6x^2 - 3x^2) + (-3x + 2x) + 2}{x^2y} = \frac{3x^2 - x + 2}{x^2y}$

Ответ: $\frac{3x^2 - x + 2}{x^2y}$