Номер 20, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 20, страница 34.

Условие.

20. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ \frac{5b}{28} + \frac{9b}{28} $;

2) $ \frac{9m}{7n} - \frac{2m}{7n} $;

3) $ \frac{5x - 3y}{8z} + \frac{3x - 13y}{8z} $;

4) $ \frac{4c - 3d}{cd} - \frac{c - 3d}{cd} $;

5) $ \frac{6x}{x^2 - 16} - \frac{24}{x^2 - 16} $;

6) $ \frac{m^2 + 10m}{9 - m^2} - \frac{4m - 9}{9 - m^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{5b}{28} + \frac{9b}{28}$
Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители:
$\frac{5b + 9b}{28} = \frac{14b}{28}$
Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 14:
$\frac{14b \div 14}{28 \div 14} = \frac{b}{2}$
Ответ: $\frac{b}{2}$

2) $\frac{9m}{7n} - \frac{2m}{7n}$
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$\frac{9m - 2m}{7n} = \frac{7m}{7n}$
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:
$\frac{7m}{7n} = \frac{m}{n}$
Ответ: $\frac{m}{n}$

3) $\frac{5x - 3y}{8z} + \frac{3x - 13y}{8z}$
Складываем числители, так как знаменатели одинаковы:
$\frac{(5x - 3y) + (3x - 13y)}{8z} = \frac{5x - 3y + 3x - 13y}{8z}$
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(5x+3x) + (-3y-13y)}{8z} = \frac{8x - 16y}{8z}$
Выносим общий множитель 8 в числителе за скобки и сокращаем дробь:
$\frac{8(x - 2y)}{8z} = \frac{x - 2y}{z}$
Ответ: $\frac{x - 2y}{z}$

4) $\frac{4c - 3d}{cd} - \frac{c - 3d}{cd}$
Вычитаем числители, так как знаменатели одинаковы. Важно взять второй числитель в скобки, так как перед дробью стоит знак минус:
$\frac{(4c - 3d) - (c - 3d)}{cd} = \frac{4c - 3d - c + 3d}{cd}$
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(4c - c) + (-3d + 3d)}{cd} = \frac{3c}{cd}$
Сокращаем дробь на общий множитель $c$:
$\frac{3c}{cd} = \frac{3}{d}$
Ответ: $\frac{3}{d}$

5) $\frac{6x}{x^2 - 16} - \frac{24}{x^2 - 16}$
Вычитаем числители, так как знаменатели одинаковы:
$\frac{6x - 24}{x^2 - 16}$
Для сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 6 за скобки. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{6(x - 4)}{x^2 - 4^2} = \frac{6(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(x-4)$:
$\frac{6}{x + 4}$
Ответ: $\frac{6}{x + 4}$

6) $\frac{m^2 + 10m}{9 - m^2} - \frac{4m - 9}{9 - m^2}$
Вычитаем числители, так как знаменатели одинаковы. Второй числитель берем в скобки:
$\frac{(m^2 + 10m) - (4m - 9)}{9 - m^2} = \frac{m^2 + 10m - 4m + 9}{9 - m^2}$
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{m^2 + 6m + 9}{9 - m^2}$
Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель является полным квадратом $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Знаменатель — разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(m+3)^2}{(3-m)(3+m)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(m+3)$, так как $m+3=3+m$:
$\frac{(m+3)(m+3)}{(3-m)(m+3)} = \frac{m+3}{3-m}$
Ответ: $\frac{m+3}{3-m}$