Номер 15, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 15, страница 33.

Условие.

15. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{x^7y^4 + x^5y^6}{x^5y^4} $, если $x = 0,6$, $y = -0,8;$

2) $ \frac{5x^3 - 125x}{2x^3 - 20x^2 + 50x} $, если $x = 6;$

3) $ \frac{(4x + 4y)^2}{4x^2 - 4y^2} $, если $x = 0,2$, $y = -0,6;$

4) $ \frac{18x^2 - 48xy + 32y^2}{9x - 12y} $, если $4y - 3x = -0,9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Сначала упростим выражение, вынеся общий множитель в числителе за скобки:

$\frac{x^7y^4 + x^5y^6}{x^5y^4} = \frac{x^5y^4(x^2 + y^2)}{x^5y^4}$

Сократим дробь на общий множитель $x^5y^4$ (при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$, что выполняется для заданных значений). Получим:

$x^2 + y^2$

Теперь подставим значения $x = 0,6$ и $y = -0,8$ в упрощенное выражение:

$(0,6)^2 + (-0,8)^2 = 0,36 + 0,64 = 1$

Ответ: 1

2) Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем за скобки $5x$ и применим формулу разности квадратов:

$5x^3 - 125x = 5x(x^2 - 25) = 5x(x-5)(x+5)$

В знаменателе вынесем за скобки $2x$ и применим формулу квадрата разности:

$2x^3 - 20x^2 + 50x = 2x(x^2 - 10x + 25) = 2x(x-5)^2$

Запишем исходную дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:

$\frac{5x(x-5)(x+5)}{2x(x-5)^2}$

Сократим дробь на $x$ и $(x-5)$ (при $x \neq 0$ и $x \neq 5$):

$\frac{5(x+5)}{2(x-5)}$

Подставим значение $x = 6$ в упрощенное выражение:

$\frac{5(6+5)}{2(6-5)} = \frac{5 \cdot 11}{2 \cdot 1} = \frac{55}{2} = 27,5$

Ответ: 27,5

3) Упростим выражение. В числителе вынесем 4 за скобки и возведем в квадрат. В знаменателе вынесем 4 за скобки и применим формулу разности квадратов.

Числитель: $(4x + 4y)^2 = (4(x+y))^2 = 16(x+y)^2$

Знаменатель: $4x^2 - 4y^2 = 4(x^2-y^2) = 4(x-y)(x+y)$

Получим дробь:

$\frac{16(x+y)^2}{4(x-y)(x+y)}$

Сократим дробь на 4 и $(x+y)$ (при $x+y \neq 0$):

$\frac{4(x+y)}{x-y}$

Подставим значения $x = 0,2$ и $y = -0,6$ в упрощенное выражение:

$\frac{4(0,2 + (-0,6))}{0,2 - (-0,6)} = \frac{4(0,2 - 0,6)}{0,2 + 0,6} = \frac{4(-0,4)}{0,8} = \frac{-1,6}{0,8} = -2$

Ответ: -2

4) Упростим данное алгебраическое выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем за скобки общий множитель 2 и заметим, что в скобках получился полный квадрат разности:

$18x^2 - 48xy + 32y^2 = 2(9x^2 - 24xy + 16y^2) = 2((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2) = 2(3x - 4y)^2$

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 3:

$9x - 12y = 3(3x - 4y)$

Запишем дробь в новом виде:

$\frac{2(3x - 4y)^2}{3(3x - 4y)}$

Сократим дробь на $(3x - 4y)$ (при $3x - 4y \neq 0$):

$\frac{2(3x - 4y)}{3}$

По условию задачи $4y - 3x = -0,9$. Выразим отсюда $3x - 4y$:

$3x - 4y = -(4y - 3x) = -(-0,9) = 0,9$

Подставим полученное значение в упрощенное выражение:

$\frac{2 \cdot 0,9}{3} = \frac{1,8}{3} = 0,6$

Ответ: 0,6