Номер 22, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 22, страница 35.

Условие.

22. Запишите дробь в виде суммы целого выражения и дроби:

1) $\frac{m-3}{m}$;

2) $\frac{a^2 - 2a + 7}{a - 2}$;

3) $\frac{y^2 + 5y - 3}{y - 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы записать дробь $\frac{m-3}{m}$ в виде суммы целого выражения и дроби, мы можем разделить каждый член числителя на знаменатель. Этот метод называется почленным делением.

$\frac{m-3}{m} = \frac{m}{m} - \frac{3}{m}$

Так как любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно единице, то $\frac{m}{m} = 1$ (при условии, что $m \neq 0$).

Таким образом, выражение принимает вид:

$1 - \frac{3}{m}$

Это и есть искомое представление в виде суммы целого выражения (1) и дроби ($-\frac{3}{m}$).

Ответ: $1 - \frac{3}{m}$

2) Для дроби $\frac{a^2 - 2a + 7}{a - 2}$ выделим в числителе выражение, которое делится на знаменатель $(a-2)$ без остатка. Для этого сгруппируем первые два члена числителя и вынесем общий множитель $a$ за скобки.

$a^2 - 2a + 7 = (a^2 - 2a) + 7 = a(a-2) + 7$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{a(a-2) + 7}{a - 2}$

Разделим полученную сумму в числителе почленно на знаменатель:

$\frac{a(a-2)}{a-2} + \frac{7}{a-2}$

Сократим первую дробь на $(a-2)$ (при $a \neq 2$):

$a + \frac{7}{a-2}$

В результате мы получили сумму целого выражения $a$ и дроби $\frac{7}{a-2}$.

Ответ: $a + \frac{7}{a-2}$

3) Для дроби $\frac{y^2 + 5y - 3}{y - 2}$ применим метод выделения целой части путем преобразования числителя. Этот метод эквивалентен делению многочлена на многочлен "уголком".

Шаг 1: Преобразуем числитель $y^2 + 5y - 3$ так, чтобы выделить слагаемое, содержащее множитель $(y-2)$.

$y^2 + 5y - 3 = y^2 - 2y + 2y + 5y - 3 = (y^2 - 2y) + 7y - 3 = y(y-2) + 7y - 3$

Шаг 2: Теперь преобразуем оставшуюся часть $7y - 3$, чтобы также выделить множитель $(y-2)$.

$7y - 3 = 7y - 14 + 14 - 3 = (7y - 14) + 11 = 7(y-2) + 11$

Шаг 3: Подставим все обратно в исходный числитель и сгруппируем.

$y^2 + 5y - 3 = y(y-2) + 7(y-2) + 11 = (y+7)(y-2) + 11$

Шаг 4: Теперь разделим полученное выражение на знаменатель $(y-2)$.

$\frac{(y+7)(y-2) + 11}{y-2} = \frac{(y+7)(y-2)}{y-2} + \frac{11}{y-2}$

После сокращения первой дроби (при $y \neq 2$) получаем:

$y+7 + \frac{11}{y-2}$

Таким образом, мы представили дробь в виде суммы целого выражения $(y+7)$ и дроби $\frac{11}{y-2}$.

Ответ: $y+7 + \frac{11}{y-2}$