Номер 18, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 18, страница 34.

Условие.

18. Решите уравнение:

1) $ \frac{x+4}{x+4} = 1; $

2) $ \frac{x^2-9}{x-3} = 6; $

3) $ \frac{|x|-11}{x-11} = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{x+4}{x+4}=1$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x+4 \neq 0$

$x \neq -4$

При всех значениях $x$, удовлетворяющих ОДЗ, выражение в левой части уравнения представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой равны. Такая дробь всегда равна 1.

Следовательно, уравнение $\frac{x+4}{x+4}=1$ превращается в тождество $1=1$, которое верно для всех допустимых значений $x$.

Таким образом, решением уравнения является любое число, кроме $-4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2) $\frac{x^2-9}{x-3}=6$

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.

$x-3 \neq 0$

$x \neq 3$

Теперь упростим левую часть уравнения. Числитель $x^2-9$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2-9 = (x-3)(x+3)$

Подставим это в уравнение:

$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=6$

Так как $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$:

$x+3=6$

Решим полученное линейное уравнение:

$x = 6-3$

$x = 3$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Наше ОДЗ - $x \neq 3$. Полученный корень $x=3$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет.

3) $\frac{|x|-11}{x-11}=0$

Найдем ОДЗ для этого уравнения. Знаменатель не может быть равен нулю:

$x-11 \neq 0$

$x \neq 11$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$|x|-11=0$

$|x|=11$

Уравнение с модулем $|x|=a$ (где $a \ge 0$) имеет два корня: $x=a$ и $x=-a$. В нашем случае:

$x_1 = 11$

$x_2 = -11$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 11$).

Корень $x_1=11$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2=-11$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-11 \neq 11$.

Проверим корень $x=-11$, подставив его в исходное уравнение:

$\frac{|-11|-11}{-11-11} = \frac{11-11}{-22} = \frac{0}{-22} = 0$

Равенство верное. Таким образом, у уравнения есть единственный корень.

Ответ: $-11$.