Номер 12, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $b$ значение дроби:

1) $\frac{14b - b^2 - 50}{b^2 + 2b + 1}$ отрицательное;

2) $\frac{b^2 - 16b + 64}{b^6 + 1}$ неотрицательное.

Чтобы доказать знак дроби, необходимо проанализировать знаки её числителя и знаменателя по отдельности. Если знаки числителя и знаменателя противоположны, дробь отрицательна; если одинаковы — положительна.

1) Доказать, что $\frac{14b - b^2 - 50}{b^2 + 2b + 1}$ отрицательное

1. Анализ знаменателя: Заметим, что $b^2 + 2b + 1$ — это полный квадрат: $(b + 1)^2$. Квадрат любого числа неотрицателен, а так как $b \neq -1$ (по условию допустимых значений), то $(b + 1)^2 > 0$.
2. Анализ числителя: Рассмотрим выражение $-b^2 + 14b - 50$. Вынесем минус за скобки и выделим полный квадрат:
   $-(b^2 - 14b + 50) = -(b^2 - 14b + 49 + 1) = -((b - 7)^2 + 1)$.
   Так как $(b - 7)^2 \ge 0$, то сумма $((b - 7)^2 + 1)$ всегда больше или равна 1.
   Следовательно, выражение $-((b - 7)^2 + 1) < 0$ при любых $b$.
3. Вывод: Отрицательный числитель, деленный на положительный знаменатель, всегда дает отрицательное значение.

2) Доказать, что $\frac{b^2 - 16b + 64}{b^6 + 1}$ неотрицательное

1. Анализ числителя: Свернем выражение по формуле квадрата разности:
   $b^2 - 16b + 64 = (b - 8)^2$.
   Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю: $(b - 8)^2 \ge 0$.
2. Анализ знаменателя: Переменная $b$ возведена в четную степень $b^6$, что дает результат $\ge 0$. При прибавлении единицы выражение становится строго положительным:
   $b^6 + 1 \ge 1$ при любых $b$.
3. Вывод: Неотрицательный числитель ($\ge 0$), деленный на положительный знаменатель ($> 0$), всегда дает неотрицательный результат. Значение будет равно нулю только при $b = 8$.