Номер 13, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 13, страница 33.

Условие.

13. Сократите дробь:

1) $\frac{6m}{18n}$;

2) $\frac{14ab}{2at}$;

3) $\frac{16p^3}{48p^5}$;

4) $\frac{4mn^2q}{28m^2nq^3}$;

5) $\frac{33a^5b^3}{44a^4b^7}$;

6) $\frac{34x^8y^6}{51x^6y^8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{6m}{18n}$, нужно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).
Найдём НОД для числовых коэффициентов 6 и 18. НОД(6, 18) = 6.
Разделим коэффициенты: $6 \div 6 = 1$ и $18 \div 6 = 3$.
Переменные $m$ и $n$ различны, поэтому их сократить нельзя.
Таким образом, получаем: $\frac{6m}{18n} = \frac{6 \cdot m}{18 \cdot n} = \frac{(6 \div 6) \cdot m}{(18 \div 6) \cdot n} = \frac{1 \cdot m}{3 \cdot n} = \frac{m}{3n}$.
Ответ: $\frac{m}{3n}$

2) Для сокращения дроби $\frac{14ab}{2at}$ найдём общие множители в числителе и знаменателе.
Сократим числовые коэффициенты 14 и 2. Их НОД равен 2. $14 \div 2 = 7$, $2 \div 2 = 1$.
Сократим переменные. В числителе и знаменателе есть общий множитель $a$. Сокращаем его: $\frac{a}{a} = 1$.
Переменные $b$ и $t$ остаются.
Выполним сокращение: $\frac{14ab}{2at} = \frac{14}{2} \cdot \frac{a}{a} \cdot \frac{b}{t} = 7 \cdot 1 \cdot \frac{b}{t} = \frac{7b}{t}$.
Ответ: $\frac{7b}{t}$

3) Сократим дробь $\frac{16p^3}{48p^5}$.
Сначала сократим коэффициенты 16 и 48. НОД(16, 48) = 16. $16 \div 16 = 1$, $48 \div 16 = 3$.
Теперь сократим степени переменной $p$. Используем свойство степеней $\frac{x^a}{x^b} = \frac{1}{x^{b-a}}$ при $b > a$.
$\frac{p^3}{p^5} = \frac{1}{p^{5-3}} = \frac{1}{p^2}$.
Объединим результаты: $\frac{16p^3}{48p^5} = \frac{16}{48} \cdot \frac{p^3}{p^5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{3p^2}$.
Ответ: $\frac{1}{3p^2}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{4mn^2q}{28m^2nq^3}$ и сократим её.
Сокращаем числовые коэффициенты 4 и 28. НОД(4, 28) = 4. $4 \div 4 = 1$, $28 \div 4 = 7$.
Сокращаем переменные по отдельности:
Для $m$: $\frac{m}{m^2} = \frac{1}{m^{2-1}} = \frac{1}{m}$.
Для $n$: $\frac{n^2}{n} = n^{2-1} = n$.
Для $q$: $\frac{q}{q^3} = \frac{1}{q^{3-1}} = \frac{1}{q^2}$.
Собираем всё вместе: $\frac{4mn^2q}{28m^2nq^3} = \frac{4}{28} \cdot \frac{m}{m^2} \cdot \frac{n^2}{n} \cdot \frac{q}{q^3} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{m} \cdot n \cdot \frac{1}{q^2} = \frac{n}{7mq^2}$.
Ответ: $\frac{n}{7mq^2}$

5) Сократим дробь $\frac{33a^5b^3}{44a^4b^7}$.
Найдём НОД коэффициентов 33 и 44. НОД(33, 44) = 11. $33 \div 11 = 3$, $44 \div 11 = 4$.
Сократим степени переменных $a$ и $b$ по правилу частного степеней с одинаковым основанием.
Для $a$: $\frac{a^5}{a^4} = a^{5-4} = a^1 = a$.
Для $b$: $\frac{b^3}{b^7} = \frac{1}{b^{7-3}} = \frac{1}{b^4}$.
Соединим полученные части: $\frac{33a^5b^3}{44a^4b^7} = \frac{33}{44} \cdot \frac{a^5}{a^4} \cdot \frac{b^3}{b^7} = \frac{3}{4} \cdot a \cdot \frac{1}{b^4} = \frac{3a}{4b^4}$.
Ответ: $\frac{3a}{4b^4}$

6) Сократим дробь $\frac{34x^8y^6}{51x^6y^8}$.
Сначала сократим числовые коэффициенты 34 и 51. Разложим их на простые множители: $34 = 2 \cdot 17$, $51 = 3 \cdot 17$. Их НОД равен 17.
$34 \div 17 = 2$, $51 \div 17 = 3$.
Теперь сократим переменные:
Для $x$: $\frac{x^8}{x^6} = x^{8-6} = x^2$.
Для $y$: $\frac{y^6}{y^8} = \frac{1}{y^{8-6}} = \frac{1}{y^2}$.
Объединяем результаты: $\frac{34x^8y^6}{51x^6y^8} = \frac{34}{51} \cdot \frac{x^8}{x^6} \cdot \frac{y^6}{y^8} = \frac{2}{3} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{2x^2}{3y^2}$.
Ответ: $\frac{2x^2}{3y^2}$