Номер 17, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Постройте график функции:

1) $y = \frac{2x}{x}$;

2) $y = \frac{x+1}{x+1}$;

3) $y = -x + \frac{x-2}{x-2}$;

4) $y = \frac{x+2}{x+2} + 2x$;

5) $y = \frac{x^2-16}{x+4}$;

6) $y = \frac{(3-x)^4}{(x-3)^3}$;

7) $y = \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-4}$;

8) $y = \frac{4x^2+20x+25}{2x+5} - \frac{x^2+3x}{x}$.

1) Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.
При $x \neq 0$ функцию можно упростить, сократив $x$ в числителе и знаменателе: $y = 2$.
Таким образом, график функции — это прямая $y=2$, параллельная оси абсцисс, из которой удалена точка, соответствующая $x=0$. Координаты этой выколотой точки: $(0, 2)$.
Ответ: Графиком является прямая $y=2$ с выколотой точкой $(0, 2)$.

2) Область определения функции (ОДЗ): $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
При $x \neq -1$ числитель и знаменатель равны, поэтому их можно сократить: $y=1$.
График функции — это прямая $y=1$, из которой исключена точка с абсциссой $x=-1$. Координаты выколотой точки: $(-1, 1)$.
Ответ: Графиком является прямая $y=1$ с выколотой точкой $(-1, 1)$.

3) Область определения функции (ОДЗ): $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
При $x \neq 2$ дробь $\frac{x-2}{x-2}$ равна 1. Упрощаем выражение: $y = -x + 1$.
График функции — это прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой при $x=2$. Найдем ординату этой точки: $y = -2 + 1 = -1$. Координаты выколотой точки: $(2, -1)$.
Ответ: Графиком является прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой $(2, -1)$.

4) Область определения функции (ОДЗ): $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.
При $x \neq -2$ дробь $\frac{x+2}{x+2}$ равна 1. Упрощаем выражение: $y = 1 + 2x$.
График функции — это прямая $y = 2x + 1$ с выколотой точкой при $x=-2$. Найдем ординату этой точки: $y = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$. Координаты выколотой точки: $(-2, -3)$.
Ответ: Графиком является прямая $y = 2x + 1$ с выколотой точкой $(-2, -3)$.

5) Область определения функции (ОДЗ): $x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$.
Подставим в функцию и сократим дробь при $x \neq -4$: $y = \frac{(x-4)(x+4)}{x+4} = x-4$.
График функции — это прямая $y = x-4$ с выколотой точкой при $x=-4$. Найдем ординату этой точки: $y = -4 - 4 = -8$. Координаты выколотой точки: $(-4, -8)$.
Ответ: Графиком является прямая $y = x-4$ с выколотой точкой $(-4, -8)$.

6) Область определения функции (ОДЗ): $(x-3)^3 \neq 0$, то есть $x-3 \neq 0$, следовательно $x \neq 3$.
Преобразуем числитель, используя свойство четной степени: $(3-x)^4 = (-(x-3))^4 = (x-3)^4$.
Функция принимает вид: $y = \frac{(x-3)^4}{(x-3)^3}$. При $x \neq 3$ сокращаем дробь: $y = (x-3)^{4-3} = x-3$.
График функции — это прямая $y = x-3$ с выколотой точкой при $x=3$. Найдем ординату этой точки: $y = 3 - 3 = 0$. Координаты выколотой точки: $(3, 0)$.
Ответ: Графиком является прямая $y = x-3$ с выколотой точкой $(3, 0)$.

7) Область определения функции (ОДЗ): $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.
При $x \neq 4$ вычитаем две одинаковые дроби, результат равен нулю: $y = 0$.
График функции — это прямая $y=0$ (ось абсцисс), из которой исключена точка с абсциссой $x=4$. Координаты выколотой точки: $(4, 0)$.
Ответ: Графиком является прямая $y=0$ (ось Ox) с выколотой точкой $(4, 0)$.

8) Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатели обеих дробей не должны быть равны нулю.
1) $2x+5 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -5 \Rightarrow x \neq -2.5$.
2) $x \neq 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (-2.5; 0) \cup (0; +\infty)$.
Упростим каждое слагаемое отдельно.
Первая дробь: числитель $4x^2+20x+25$ является полным квадратом суммы $(2x+5)^2$. Тогда $\frac{(2x+5)^2}{2x+5} = 2x+5$ при $x \neq -2.5$.
Вторая дробь: вынесем $x$ за скобки в числителе: $\frac{x(x+3)}{x} = x+3$ при $x \neq 0$.
Подставим упрощенные выражения в исходную функцию: $y = (2x+5) - (x+3) = 2x+5-x-3 = x+2$.
График функции — это прямая $y = x+2$ с двумя выколотыми точками.
Найдем координаты выколотых точек:
1) При $x=-2.5$, $y = -2.5 + 2 = -0.5$. Точка $(-2.5, -0.5)$.
2) При $x=0$, $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
Ответ: Графиком является прямая $y=x+2$ с выколотыми точками $(-2.5; -0.5)$ и $(0; 2)$.