Номер 14, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 14, страница 33.

Условие.

14. Сократите дробь:

1) $ \frac{5a + 20m}{5a} $;

2) $ \frac{2p - 14q}{3p - 21q} $;

3) $ \frac{x^2 - 36}{4x + 24} $;

4) $ \frac{10x^2 - 2x}{3 - 15x} $;

5) $ \frac{a^2 - 64}{a^2 + 16a + 64} $;

6) $ \frac{m^6 - m^4}{m - m^3} $;

7) $ \frac{m^3 - 125}{4m - 20} $;

8) $ \frac{4m^2 - 4m + 4}{12m^3 + 12} $;

9) $ \frac{bx + by + 2x + 2y}{4 - b^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{5a + 20m}{5a}$, вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки: $5a + 20m = 5(a + 4m)$. После этого дробь примет вид: $\frac{5(a + 4m)}{5a}$. Сократим общий множитель 5 в числителе и знаменателе. В результате получаем $\frac{a + 4m}{a}$.
Ответ: $\frac{a + 4m}{a}$

2) Для сокращения дроби $\frac{2p - 14q}{3p - 21q}$ разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки 2: $2(p - 7q)$. В знаменателе вынесем за скобки 3: $3(p - 7q)$. Дробь станет равной $\frac{2(p - 7q)}{3(p - 7q)}$. Сократив общий множитель $(p-7q)$, получаем $\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{x^2 - 36}{4x + 24}$. Числитель $x^2 - 36$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6)$. В знаменателе $4x + 24$ вынесем общий множитель 4 за скобки: $4(x+6)$. Исходная дробь преобразуется к виду $\frac{(x-6)(x+6)}{4(x+6)}$. Сокращаем на общий множитель $(x+6)$ и получаем $\frac{x-6}{4}$.
Ответ: $\frac{x-6}{4}$

4) Сократим дробь $\frac{10x^2 - 2x}{3 - 15x}$. В числителе вынесем общий множитель $2x$: $2x(5x - 1)$. В знаменателе вынесем общий множитель 3: $3(1 - 5x)$. Дробь примет вид $\frac{2x(5x - 1)}{3(1 - 5x)}$. Заметим, что выражения $(5x - 1)$ и $(1 - 5x)$ являются противоположными, то есть $(5x - 1) = -(1 - 5x)$. Заменим числитель: $\frac{2x \cdot (-(1-5x))}{3(1 - 5x)} = \frac{-2x(1 - 5x)}{3(1 - 5x)}$. Сократив общий множитель $(1-5x)$, получим $-\frac{2x}{3}$.
Ответ: $-\frac{2x}{3}$

5) В дроби $\frac{a^2 - 64}{a^2 + 16a + 64}$ разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $a^2 - 8^2 = (a-8)(a+8)$. Знаменатель $a^2 + 16a + 64$ является полным квадратом суммы, который сворачивается по формуле $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 8 + 8^2 = (a+8)^2$. Дробь принимает вид $\frac{(a-8)(a+8)}{(a+8)^2}$. Сокращаем на общий множитель $(a+8)$ и получаем $\frac{a-8}{a+8}$.
Ответ: $\frac{a-8}{a+8}$

6) Для сокращения дроби $\frac{m^6 - m^4}{m - m^3}$ вынесем общие множители. В числителе выносим $m^4$: $m^4(m^2 - 1)$. В знаменателе выносим $m$: $m(1 - m^2)$. Получаем дробь $\frac{m^4(m^2 - 1)}{m(1 - m^2)}$. Так как $m^2 - 1 = -(1 - m^2)$, мы можем переписать дробь как $\frac{m^4 \cdot (-(1 - m^2))}{m(1 - m^2)}$. Сокращаем на $m$ и на $(1 - m^2)$, что дает $\frac{-m^3}{1} = -m^3$.
Ответ: $-m^3$

7) В дроби $\frac{m^3 - 125}{4m - 20}$ числитель является разностью кубов $m^3 - 5^3$. Разложим его по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$: $(m-5)(m^2 + 5m + 25)$. В знаменателе вынесем общий множитель 4: $4(m-5)$. Дробь примет вид $\frac{(m-5)(m^2 + 5m + 25)}{4(m-5)}$. Сократив на общий множитель $(m-5)$, получаем $\frac{m^2 + 5m + 25}{4}$.
Ответ: $\frac{m^2 + 5m + 25}{4}$

8) Рассмотрим дробь $\frac{4m^2 - 4m + 4}{12m^3 + 12}$. В числителе вынесем общий множитель 4: $4(m^2 - m + 1)$. В знаменателе вынесем 12: $12(m^3 + 1)$. Знаменатель $12(m^3 + 1)$ можно разложить дальше, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$: $12(m+1)(m^2 - m + 1)$. Дробь станет $\frac{4(m^2 - m + 1)}{12(m+1)(m^2 - m + 1)}$. Сокращаем на общий множитель $(m^2 - m + 1)$ и на 4. Остается $\frac{1}{3(m+1)}$.
Ответ: $\frac{1}{3(m+1)}$

9) Сократим дробь $\frac{bx + by + 2x + 2y}{4 - b^2}$. В числителе применим метод группировки: $(bx + by) + (2x + 2y) = b(x+y) + 2(x+y)$. Вынесем общий множитель $(x+y)$, получим $(b+2)(x+y)$. Знаменатель $4 - b^2$ является разностью квадратов $2^2-b^2$, которая раскладывается как $(2-b)(2+b)$. Дробь примет вид $\frac{(b+2)(x+y)}{(2-b)(2+b)}$. Сокращаем на общий множитель $(b+2) = (2+b)$ и получаем $\frac{x+y}{2-b}$.
Ответ: $\frac{x+y}{2-b}$