Номер 8, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 8, страница 32.

Условие.

8. Разложите на множители:

1) $3a - 3a^3$;

2) $7x^5 - 7xy^2$;

3) $5x^2y^6 - 45x^2b^2$;

4) $3x^2 - 24xy + 48y^2$;

5) $-3a^4 - 12a^3 - 12a^2$;

6) $2a^3 + 54b^6$;

7) $a + 5b + a^2 - 25b^2$;

8) $ac^6 - ac^4 - c^6 + c^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное выражение: $3a - 3a^3$.
Первым шагом вынесем общий множитель $3a$ за скобки:
$3a - 3a^3 = 3a(1 - a^2)$.
Выражение в скобках $1 - a^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$1 - a^2 = 1^2 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$.
Таким образом, получаем окончательное разложение на множители.
Ответ: $3a(1 - a)(1 + a)$.

2) Исходное выражение: $7x^5 - 7xy^2$.
Вынесем общий множитель $7x$ за скобки:
$7x^5 - 7xy^2 = 7x(x^4 - y^2)$.
Выражение в скобках $x^4 - y^2$ является разностью квадратов, так как $x^4 = (x^2)^2$. Используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:
$x^4 - y^2 = (x^2)^2 - y^2 = (x^2 - y)(x^2 + y)$.
Следовательно, итоговое разложение имеет вид.
Ответ: $7x(x^2 - y)(x^2 + y)$.

3) Исходное выражение: $5x^2y^6 - 45x^2b^2$.
Вынесем общий множитель $5x^2$ за скобки:
$5x^2y^6 - 45x^2b^2 = 5x^2(y^6 - 9b^2)$.
Выражение в скобках $y^6 - 9b^2$ является разностью квадратов, так как $y^6 = (y^3)^2$ и $9b^2 = (3b)^2$. Применим формулу разности квадратов:
$y^6 - 9b^2 = (y^3)^2 - (3b)^2 = (y^3 - 3b)(y^3 + 3b)$.
Окончательный результат разложения.
Ответ: $5x^2(y^3 - 3b)(y^3 + 3b)$.

4) Исходное выражение: $3x^2 - 24xy + 48y^2$.
Вынесем общий множитель $3$ за скобки:
$3x^2 - 24xy + 48y^2 = 3(x^2 - 8xy + 16y^2)$.
Выражение в скобках $x^2 - 8xy + 16y^2$ является полным квадратом разности. Применим формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, где $a = x$ и $b = 4y$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot (4y) + (4y)^2 = (x - 4y)^2$.
Таким образом, получаем итоговое разложение.
Ответ: $3(x - 4y)^2$.

5) Исходное выражение: $-3a^4 - 12a^3 - 12a^2$.
Вынесем общий множитель $-3a^2$ за скобки:
$-3a^4 - 12a^3 - 12a^2 = -3a^2(a^2 + 4a + 4)$.
Выражение в скобках $a^2 + 4a + 4$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$, где $x = a$ и $y = 2$:
$a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a + 2)^2$.
Окончательное разложение на множители.
Ответ: $-3a^2(a + 2)^2$.

6) Исходное выражение: $2a^3 + 54b^6$.
Вынесем общий множитель $2$ за скобки:
$2a^3 + 54b^6 = 2(a^3 + 27b^6)$.
Выражение в скобках $a^3 + 27b^6$ является суммой кубов, так как $27b^6 = (3b^2)^3$. Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a$ и $y = 3b^2$:
$a^3 + (3b^2)^3 = (a + 3b^2)(a^2 - a \cdot (3b^2) + (3b^2)^2) = (a + 3b^2)(a^2 - 3ab^2 + 9b^4)$.
Итоговое разложение.
Ответ: $2(a + 3b^2)(a^2 - 3ab^2 + 9b^4)$.

7) Исходное выражение: $a + 5b + a^2 - 25b^2$.
Применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:
$(a + 5b) + (a^2 - 25b^2)$.
Вторую группу $(a^2 - 25b^2)$ можно разложить как разность квадратов:
$a^2 - (5b)^2 = (a - 5b)(a + 5b)$.
Подставим разложение обратно в выражение:
$(a + 5b) + (a - 5b)(a + 5b)$.
Теперь вынесем общий множитель $(a + 5b)$ за скобки:
$(a + 5b)(1 + (a - 5b)) = (a + 5b)(1 + a - 5b)$.
Запишем множители в более привычном порядке.
Ответ: $(a + 5b)(a - 5b + 1)$.

8) Исходное выражение: $ac^6 - ac^4 - c^6 + c^4$.
Применим метод группировки. Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:
$(ac^6 - c^6) - (ac^4 - c^4)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$c^6(a - 1) - c^4(a - 1)$.
Теперь вынесем общий для обеих групп множитель $(a - 1)$:
$(a - 1)(c^6 - c^4)$.
В выражении $(c^6 - c^4)$ вынесем за скобки $c^4$:
$(a - 1)c^4(c^2 - 1)$.
Выражение $(c^2 - 1)$ является разностью квадратов: $c^2 - 1 = (c - 1)(c + 1)$.
Собираем все множители вместе.
Ответ: $c^4(a - 1)(c - 1)(c + 1)$.