Номер 2, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Упростите выражение:

1) $(x + 2)(x - 5) - 3x(1 - 2x);$

2) $(a + 3)(a - 2) + (a - 3)(a + 6);$

3) $(x - 7)(3x - 2) - (5x + 1)(2x - 4);$

4) $(x - 2)^2 + (x - 1)(x + 1);$

5) $(3a - 2b)(3a + 2b) - (a + 3b)^2;$

6) $(y - 4)(y + 3) + (y + 1)^2 - (7 - y)(7 + y).$

Для упрощения этих выражений необходимо последовательно выполнить раскрытие скобок (перемножение многочленов), применить формулы сокращенного умножения и привести подобные слагаемые.

1) $(x + 2)(x - 5) - 3x(1 - 2x)$

1. Раскрываем первые скобки: $x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$.
2. Раскрываем вторые скобки: $-3x + 6x^2$.
3. Складываем: $x^2 - 3x - 10 - 3x + 6x^2 = \mathbf{7x^2 - 6x - 10}$.

2) $(a + 3)(a - 2) + (a - 3)(a + 6)$

1. Первая часть: $a^2 - 2a + 3a - 6 = a^2 + a - 6$.
2. Вторая часть: $a^2 + 6a - 3a - 18 = a^2 + 3a - 18$.
3. Складываем: $a^2 + a - 6 + a^2 + 3a - 18 = \mathbf{2a^2 + 4a - 24}$.

3) $(x - 7)(3x - 2) - (5x + 1)(2x - 4)$

1. Первая часть: $3x^2 - 2x - 21x + 14 = 3x^2 - 23x + 14$.
2. Вторая часть: $(10x^2 - 20x + 2x - 4) = 10x^2 - 18x - 4$.
3. Вычитаем (меняем знаки): $3x^2 - 23x + 14 - 10x^2 + 18x + 4 = \mathbf{-7x^2 - 5x + 18}$.

4) $(x - 2)^2 + (x - 1)(x + 1)$

1. Квадрат разности: $x^2 - 4x + 4$.
2. Разность квадратов: $x^2 - 1$.
3. Итого: $x^2 - 4x + 4 + x^2 - 1 = \mathbf{2x^2 - 4x + 3}$.

5) $(3a - 2b)(3a + 2b) - (a + 3b)^2$

1. Разность квадратов: $(3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2$.
2. Квадрат суммы: $(a^2 + 6ab + 9b^2)$.
3. Вычитаем: $9a^2 - 4b^2 - a^2 - 6ab - 9b^2 = \mathbf{8a^2 - 6ab - 13b^2}$.

6) $(y - 4)(y + 3) + (y + 1)^2 - (7 - y)(7 + y)$

1. Многочлены: $y^2 + 3y - 4y - 12 = y^2 - y - 12$.
2. Квадрат суммы: $y^2 + 2y + 1$.
3. Разность квадратов: $(49 - y^2)$.
4. Раскрываем всё: $y^2 - y - 12 + y^2 + 2y + 1 - (49 - y^2) = 2y^2 + y - 11 - 49 + y^2 = \mathbf{3y^2 + y - 60}$.