Номер 180, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 180, страница 30.

Условие.

180. В раствор, содержащий 60 г воды, добавили 20 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 5 %. Сколько граммов соли содержит раствор?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $x$ — масса соли в граммах, которую содержит раствор.

Изначально в растворе было 60 г воды. Масса исходного раствора составляла $m_1 = (x + 60)$ г.Концентрация соли в исходном растворе, выраженная в долях, равна отношению массы соли к массе всего раствора:$C_1 = \frac{x}{x + 60}$

После того как в раствор добавили 20 г воды, масса воды в нем стала $60 + 20 = 80$ г.Масса нового раствора стала $m_2 = (x + 80)$ г.Концентрация соли в новом растворе:$C_2 = \frac{x}{x + 80}$

По условию задачи, концентрация соли уменьшилась на 5%. Это означает, что разница между начальной и конечной концентрациями составляет 5 процентных пунктов. В долях это 0,05.$C_1 - C_2 = 0.05$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение:$\frac{x}{x + 60} - \frac{x}{x + 80} = 0.05$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$\frac{x(x + 80) - x(x + 60)}{(x + 60)(x + 80)} = 0.05$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{x^2 + 80x - x^2 - 60x}{(x + 60)(x + 80)} = 0.05$

Упростим числитель:$\frac{20x}{(x + 60)(x + 80)} = 0.05$

Теперь избавимся от знаменателя, умножив на него обе части уравнения, и раскроем скобки:$20x = 0.05 \cdot (x + 60)(x + 80)$$20x = 0.05 \cdot (x^2 + 80x + 60x + 4800)$$20x = 0.05 \cdot (x^2 + 140x + 4800)$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 20 (поскольку $0.05 = \frac{1}{20}$):$20 \cdot 20x = 20 \cdot 0.05 \cdot (x^2 + 140x + 4800)$$400x = 1 \cdot (x^2 + 140x + 4800)$$400x = x^2 + 140x + 4800$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:$x^2 + 140x - 400x + 4800 = 0$$x^2 - 260x + 4800 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-260)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4800 = 67600 - 19200 = 48400$Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{48400} = 220$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_1 = \frac{260 - 220}{2} = \frac{40}{2} = 20$$x_2 = \frac{260 + 220}{2} = \frac{480}{2} = 240$

Получилось два положительных решения. Проверим каждое из них.

Случай 1: Масса соли равна 20 г.

• Начальная концентрация: $C_1 = \frac{20}{20 + 60} = \frac{20}{80} = 0.25$ (или 25%).
• Конечная концентрация: $C_2 = \frac{20}{20 + 80} = \frac{20}{100} = 0.20$ (или 20%).
• Разница: $25\% - 20\% = 5\%$. Это решение удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Масса соли равна 240 г.

• Начальная концентрация: $C_1 = \frac{240}{240 + 60} = \frac{240}{300} = 0.8$ (или 80%).
• Конечная концентрация: $C_2 = \frac{240}{240 + 80} = \frac{240}{320} = 0.75$ (или 75%).
• Разница: $80\% - 75\% = 5\%$. Это решение также удовлетворяет условию задачи.

Оба значения являются верными решениями.

Ответ: Раствор содержит 20 г или 240 г соли.